Wasserstein gradient flows of maximum mean discrepancy (MMD) functionals with non-smooth Riesz kernels show a rich structure as singular measures can become absolutely continuous ones and conversely. In this paper we contribute to the understanding of such flows. We propose to approximate the backward scheme of Jordan, Kinderlehrer and Otto for computing such Wasserstein gradient flows as well as a forward scheme for so-called Wasserstein steepest descent flows by neural networks (NNs). Since we cannot restrict ourselves to absolutely continuous measures, we have to deal with transport plans and velocity plans instead of usual transport maps and velocity fields. Indeed, we approximate the disintegration of both plans by generative NNs which are learned with respect to appropriate loss functions. In order to evaluate the quality of both neural schemes, we benchmark them on the interaction energy. Here we provide analytic formulas for Wasserstein schemes starting at a Dirac measure and show their convergence as the time step size tends to zero. Finally, we illustrate our neural MMD flows by numerical examples.


翻译:瓦森斯坦最大平均偏差梯度(MMD)与非moth Riesz内核的功能(MMD)之间的最大平均偏差(MMD)流显示一个丰富的结构,因为单项措施可以成为绝对连续的措施,反之亦然。在本文件中,我们为了解这种流动作出贡献。我们建议大致地估计约旦、Kinderle Head和Otto的落后计划,用于计算瓦森斯坦梯度的这种流动,以及所谓的瓦森斯坦最陡峭的神经网络(NNS)的前沿计划。由于我们无法将自己局限于绝对连续的措施,我们不得不处理运输计划和速度计划,而不是通常的运输地图和速度田。我们用数字例子来说明我们神经神经元的分解过程。我们用数字例子来说明我们的神经元MD流。

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