非线性扩散方程定性研究的一些新问题

项目名称： 非线性扩散方程定性研究的一些新问题

项目编号： No.11301419

项目类型： 青年科学基金项目

立项/批准年度： 2014

项目学科： 数理科学和化学

项目作者： 李中平

作者单位： 西华师范大学

项目金额： 22万元

中文摘要： 本项目研究来源于几何、物理、生物以及其它领域的既有深刻实际背景又有重要理论意义的几类非线性扩散方程。首先研究两类带有位势的快速扩散方程，去掉现有研究工作中关于位势的指标限制条件，建立Fujita临界指标和第二临界指标，根据解的全局存在和爆破性对指标区域、初值严格分类，完整地刻画解的渐近性态。其次研究非全局解的爆破速率、爆破集, 分析位势对解的影响，进一步研究完全爆破与非完全爆破, 深刻地刻画解的奇异产生和发展规律。最后研究非散度型扩散初边值问题的临界指标，按解的全局存在和爆破性对指标区域作精确划分，精确地估计爆破速率和爆破集，给出解的爆破模式，揭示非散度型扩散在初边值问题中的特征。本项目所涉及的研究问题是一些新的问题，也是在数学理论和实际应用两方面都有重要价值的问题，通过本项目的研究使我们在研究所需的数学思想、方法和技巧上有所创新和突破。

中文关键词： 非线性扩散方程；渐近行为；临界Fujita指标；;第二临界指标；爆破

英文摘要： The studies in the project comes from some kinds of nonlinear diffusion equations in geometry, physics, biology and other areas, which have profoundly practical background and importantly theoretical significance. First, we investigate two kinds of fast diffusion equations with potentials, removing some restrictions of indexes in potentials, establish critical Fujita exponents and secondary critical exponents, then according to existence and nonexistence of global solutions, we accurately divide the index region, initial value and completely describe the asymptotic behavior of solutions. Next we give the blow-up rate and blow-up set, and analysis the effect of potentials, furthermore we study the complete blow-up and incomplete blow-up phenomenon for non-global solutions and deeply character the law of development of singularity. Finally we establish the exponents of the initial boundary value problem in non-divergence diffusion, then according to existence and nonexistence of global solutions, accurately divide the index region, precisely estimate the blow-up rate and blow-up set, give the blow-up profiles, reveal the characteristic of non-divergence diffusion in the initial boundary problems. The issues involved in this project are some new probelms, and also meaningful probems in mathematical theory and pract

英文关键词： nonlinear diffusion equation；asymptotic behavior；critical Fujita exponents；secondary critical exponents；blow-up