In this paper we introduce a new approach to compute rigorously solutions of Cauchy problems for a class of semi-linear parabolic partial differential equations. Expanding solutions with Chebyshev series in time and Fourier series in space, we introduce a zero finding problem $F(a)=0$ on a Banach algebra $X$ of Fourier-Chebyshev sequences, whose solution solves the Cauchy problem. The challenge lies in the fact that the linear part $\mathcal{L} = DF(0)$ has an infinite block diagonal structure with blocks becoming less and less diagonal dominant at infinity. We introduce analytic estimates to show that $\mathcal{L}$ is an invertible linear operator on $X$, and we obtain explicit, rigorous and computable bounds for the operator norm $\| \mathcal{L}^{-1}\|_{B(X)}$. These bounds are then used to verify the hypotheses of a Newton-Kantorovich type argument which shows that the (Newton-like) operator $\mathcal{T}(a)=a - \mathcal{L}^{-1} F(a)$ is a contraction on a small ball centered at a numerical approximation of the Cauchy problem. The contraction mapping theorem yields a fixed point which corresponds to a classical (strong) solution of the Cauchy problem. The approach is simple to implement, numerically stable and is applicable to a class of PDE models, which include for instance Fisher's equation and the Swift-Hohenberg equation. We apply our approach to each of these models.
翻译:在本文中, 我们引入了一种新的方法, 以精确的方式对某类半线线性抛分偏偏偏部分方方方方方程式的棘手问题进行严格的计算。 扩大Chebyshev系列和Fleier空间中Chebyer系列的解决方案, 我们引入了一个零的发现问题 $F(a)=0美元, 以Banach Algebra $X$X$x美元为福列- Chebyshev 序列, 其解决方案解决了卡奥问题。 挑战在于, 线性部分 $\ mathcal{L} =DF( 0) = DF( 0) 的可适用一个无限块块块结构, 区块越少, 区块越小, 区块越少越少越多。 我们引入了分析性估计, 显示$\mathcalcal{L} 美元是一个无法可忽略的线性操作者, 我们为操作者准则 $ ⁇ \ \ \ \ \ \ \ {L \ 1\ \ \\ \ (X) Pr) 问题获得明确、 和 可解 问题 问题的框 。 这些解 的方法用来核查一个( We- k- a 和 (x ) 的方法 用来核查一个( ) 和 (W ) 用来校 的 的 的解 的解 ) a 和 的解到一个( ) 的( ) ) 的( ) ) 的( ) 的( ) 的( ) ) 的( ) 的( ) ) 的( ) 的( ) ) 的( ) ) ) ) 的( ) ) ) ) 的( ) ) 的( ) ) ) 的( 的( 的( ) ) ) ) 和( 和 的( 的( ) ) 的( ) ) 的( ) ) 的( ) ) 的( ) ) ) ) 的( ) 的( ) ) 的( ) 的( )