1954年,Alston S. Householder发表了《数值分析原理》,这是矩阵分解的第一个现代处理方法,它支持(块)LU分解——将矩阵分解为上三角矩阵和下三角矩阵的乘积。而现在,矩阵分解已经成为机器学习的核心技术,这在很大程度上是因为反向传播算法在拟合神经网络方面的发展。本调研的唯一目的是对数值线性代数和矩阵分析中的概念和数学工具进行一个完整的介绍,以便在后续章节中无缝地介绍矩阵分解技术及其应用。然而,我们清楚地认识到,我们无法涵盖所有关于矩阵分解的有用和有趣的结果,并且给出了这种讨论的范围的缺乏,例如,分离分析欧几里德空间、厄米特空间、希尔伯特空间和复域中的东西。我们建议读者参考线性代数领域的文献,以获得相关领域的更详细介绍。本综述主要是对矩阵分解方法的目的、意义,以及这些方法的起源和复杂性进行了总结,并阐明了它们的现代应用。最重要的是,本文为分解算法的大多数计算提供了改进的过程,这可能会降低它们所引起的复杂性。同样,这是一个基于分解的上下文,因此我们将在需要和必要时介绍相关的背景。在其他许多关于线性代数的教科书中,主要思想被讨论,而矩阵分解方法是“副产品”。然而,我们将重点放在分解方法上,而主要思想将作为分解方法的基本工具。数学的先决条件是线性代数的第一门课程。除了这个适中的背景,发展是独立的,提供了严格的证据。

https://www.zhuanzhi.ai/paper/a392240897ea63228b548b0570a315d4

矩阵分解全景

矩阵分解已经成为统计学的核心技术(Banerjee和Roy, 2014;、优化(Gill et al., 2021)、机器学习(Goodfellow et al., 2016);而深度学习在很大程度上是由于反向传播算法在拟合神经网络和低秩神经网络在高效深度学习中的发展。本调查的唯一目的是对数值线性代数和矩阵分析中的概念和数学工具进行一个完整的介绍,以便在后续章节中无缝地介绍矩阵分解技术及其应用。然而,我们清楚地认识到,我们无法涵盖所有关于矩阵分解的有用和有趣的结果,并且给出了这种讨论的范围的缺乏,例如,欧氏空间、厄米特空间和希尔伯特空间的分离分析。我们建议读者参考线性代数领域的文献,以获得相关领域的更详细介绍。一些优秀的例子包括(Householder, 2006; Trefethen and Bau III, 1997; Strang, 2009; Stewart, 2000; Gentle, 2007; Higham, 2002; Quarteroni et al., 2010; Golub and Van Loan, 2013; Beck, 2017; Gallier and Quaintance, 2017; Boyd and Vandenberghe, 2018; Strang, 2019; van de Geijn and Myers, 2020; Strang, 2021)。最重要的是,本综述将只涵盖矩阵分解方法存在性的紧凑证明。关于如何降低计算复杂度,在各种应用和例子中进行严格的讨论,为什么每种矩阵分解方法在实践中都很重要,以及张量分解的初步研究,请参见(Lu, 2021c)。

矩阵分解是将一个复杂的矩阵分解成其组成部分的一种方法,这些组成部分的形式更简单。全局矩阵计算方法的基本原则是,它不是业务矩阵的algorithmists解决特定的问题,但这是一个方法,可以简化更复杂的矩阵运算,可以进行分解的部分而不是原始矩阵本身。

矩阵分解算法可以分为许多类。尽管如此,六个类别占据了中心,我们在这里概括一下:

  1. 由高斯消去产生的因子分解包括LU分解和它的正定替代- Cholesky分解;
  2. 将矩阵的列或行正交化时得到的因式分解,使数据可以用标准正交基很好地解释; 3.分解矩阵的骨架,使列或行的一个子集可以在一个小的重构误差中表示整个数据,同时,矩阵的稀疏性和非负性保持原样;
  3. 化简为Hessenberg、三对角或双对角形式,结果是,矩阵的性质可以在这些化简矩阵中探索,如秩、特征值等;
  4. 因式分解是计算矩阵特征值的结果;
  5. 特别地,其余的可以被转换为一种特殊的分解,其中涉及到优化方法和高级思想,其中类别可能无法直接确定。
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相关内容

在线性代数的数学学科中,矩阵分解或矩阵分解是将一个矩阵分解成一个矩阵的乘积。有许多不同的矩阵分解;每种方法都适用于特定的一类问题。

这本书的目的是提供一个从零开始全面的贝叶斯优化介绍,并细致阐述所有关键的想法。目标受众是机器学习、统计和相关领域的研究生和研究人员。然而,我也希望来自其他领域的从业者和研究人员能在这里找到一些用处。

https://bayesoptbook.com/

本书分为三个主要部分,包括:

  • 高斯过程建模的理论与实践,
  • Bayesian方法用于序列决策
  • 实现切实有效的优化策略。

还包括一些其他的主题:

  • 理论收敛结果的概述,
  • 一项关于引人注目的扩展的调研,
  • 贝叶斯优化的全面历史
  • 应用的带注释的参考书目。

目录内容: Introduction Gaussian Processes Modeling with Gaussian Processes Model Assessment, Selection, and Averaging Decision Theory for Optimization Utility Functions for Optimization Common Bayesian Optimization Policies Computing Policies with Gaussian Processes Implementation Theoretical Analysis Extensions and Related Settings A Brief History of Bayesian Optimization

引言概述

在机器学习的背景下,贝叶斯优化是一个古老的想法。尽管贝叶斯优化的历史已经很长,但在过去的十年里,它经历了一段复兴和快速发展的时期。这种复兴的主要驱动力是计算方面的进步,这使得贝叶斯建模和推理的工具越来越复杂。

这本书的目的是提供一个从零开始的全面的贝叶斯优化介绍,并细致阐述所有的关键思想。这种自下而上的方法允许我们在贝叶斯优化算法中确定统一的主题,这些主题可能在以往的调研文献时丢失。

这本书分为三个主要部分。第2-4章涵盖了高斯过程建模的理论和实践方面。这类模型是贝叶斯优化文献中最受欢迎的,其中包含的材料对接下来的几章至关重要。

第5-7章介绍了序列决策理论及其在优化中的应用。虽然这个理论需要一个目标函数的模型和我们对它的观察,介绍是不可知的模型的选择,可以独立地阅读前几章的高斯过程。这些内容是在第8-10章中介绍的,讨论了使用高斯过程模型的贝叶斯优化的细节。第8-9章讨论了计算和实现的细节,第10章讨论了贝叶斯优化算法的理论性能界限,其中大多数结果密切依赖于目标函数的高斯过程模型或相关的重新生成核希尔伯特空间。

一些应用的细微差别需要修改基本序列优化方案(这是前几章的重点),第11章介绍了对这一基本设置的几个值得注意的扩展。每一个都是通过贝叶斯决策理论的统一视角系统地呈现出来的,以说明一个人在面对新情况时应该如何处理。最后,第12章提供了一个简单和独立的贝叶斯历史介绍。

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本教材介绍了线性代数的概念和技巧,为一年级或二年级的学生提供了高中代数的基本知识。课程内容有足够的灵活性,既可以介绍传统的入门课程,也可以提供更实用的课程。第1-4章为初学者提供一个学期的课程,而第5-9章为第二学期的课程(参见下面的建议课程大纲)。这篇文章主要是关于在适当的时候提到复数的真实线性代数(在附录A中复习)。总的来说,这篇文章的目的是在计算技能、理论和线性代数的应用之间取得平衡。微积分不是先决条件;提到它的地方可以省略。

线性代数在自然科学、工程、管理、社会科学以及数学中都有应用。因此,18个可选的“应用”部分包括在文本中介绍各种各样的主题,如电力网络,经济模型,马尔可夫链,线性递归,微分方程组,和有限域上的线性代码。此外,还介绍了一些应用(例如线性动力系统和有向图)。申请部分出现在相关章节的末尾,以鼓励学生浏览。

https://math.emory.edu/~lchen41/teaching/2020_Fall/Nicholson-OpenLAWA-2019A.pdf

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机器学习(ML)最近的快速进展提出了一些科学问题,挑战了该领域长期存在的教条。最重要的谜题之一是过度参数化模型的良好经验泛化。过度参数化的模型对于训练数据集的大小来说过于复杂,这导致它们完美地拟合(即插值)训练数据,而训练数据通常是有噪声的。这种对噪声数据的插值传统上与有害的过拟合有关,但最近观察到,从简单的线性模型到深度神经网络的各种插值模型在新测试数据上都能很好地泛化。事实上,最近发现的双下降现象表明,在测试性能上,高度过度参数化的模型往往比最好的欠参数化模型更好。理解这种过度参数化的学习需要新的理论和基础的实证研究,即使是最简单的线性模型。这种理解的基础已经在最近对过度参数化线性回归和相关统计学习任务的分析中奠定,这导致了双下降的精确分析特征。本文简要概述了这一新兴的过度参数化ML理论(以下简称为TOPML),并从统计信号处理的角度解释了这些最新发现。我们强调将TOPML研究领域定义为现代ML理论的一个子领域的独特方面,并概述了仍然存在的有趣的未决问题。

https://www.zhuanzhi.ai/paper/182ad6c4b994aa517d10319504e9bb3a

引言

深度学习技术已经彻底改变了许多工程和科学问题的解决方式,使数据驱动方法成为实践成功的主要选择。当前的深度学习方法是经典机器学习(ML)设置的极限开发版本,以前这些设置受到有限的计算资源和训练数据可用性不足的限制。目前已建立的实践是从一组训练示例中学习高度复杂的深度神经网络(DNN),这些示例虽然本身很大,但相对于DNN中的参数数量来说相当小。虽然这种过度参数化的DNN在ML实践中是最先进的,但这种实际成功的根本原因仍不清楚。特别神秘的是两个经验观察结果: 1) 模型中添加更多参数的明显益处(在泛化方面),2) 这些模型即使完美地拟合了噪声训练数据,也能很好地泛化。这些观察结果在现代ML的不同结构中都得到了体现——当它们首次被用于复杂的、最先进的DNN时(Neyshabur et al., 2014; Zhang et al., 2017)),它们已经在更简单的模型家族中出土,包括宽神经网络、核方法,甚至线性模型(Belkin et al., 2018b; Spigler et al., 2019; Geiger et al., 2020; Belkin et al., 2019a)。

在本文中,我们综述了最近发展起来的过度参数化机器学习理论(简称TOPML),该理论建立了与训练数据插值(即完美拟合)相关的现象相关的基本数学原理。我们很快将提供一个过度参数化ML的正式定义,但在这里描述一些模型必须满足的显著属性,以合格为过度参数化。首先,这样的模型必须是高度复杂的,因为它的独立可调参数的数量要远远高于训练数据集中的示例数量。其次,这样的模型绝不能以任何方式被明确地规范化。DNN是过度参数化模型的常见实例,这些模型通常没有明确的正则化训练(参见,例如,Neyshabur et al., 2014; Zhang et al., 2017)。这种过度参数化和缺乏显式正则化的组合产生了一个可插值训练示例的学习模型,因此在任何训练数据集上都实现了零训练误差。训练数据通常被认为是来自底层数据类(即噪声数据模型)的噪声实现。因此,插值模型完美地拟合了基础数据和训练示例中的噪声。传统的统计学习总是将噪声的完美拟合与较差的泛化性能联系在一起(例如,Friedman et al., 2001, p. 194);因此,值得注意的是,这些插值解决方案通常能很好地泛化到训练数据集以外的新测试数据。

在本文中,我们回顾了TOPML研究的新兴领域,主要关注在过去几年发展的基本原理。与最近的其他综述相比(Bartlett et al., 2021; Belkin, 2021),我们从更基本的信号处理角度来阐明这些原则。形式上,我们将TOPML研究领域定义为ML理论的子领域,其中1. 明确考虑训练数据的精确或近似插值 2. 相对于训练数据集的大小,学习模型的复杂性较高。

本文组织如下。在第2节中,我们介绍了过度参数化学习中插值解的基础知识,作为一个机器学习领域,它超出了经典偏方差权衡的范围。在第3节中,我们概述了最近关于过度参数化回归的结果。在这里,我们从信号处理的角度直观地解释了过度参数化学习的基本原理。在第4节中,我们回顾了关于过度参数化分类的最新发现。在第5节中,我们概述了最近关于过度参数化子空间学习的工作。在第6节中,我们考察了最近关于回归和分类以外的过度参数化学习问题的研究。在第7节中,我们讨论了过度参数化ML理论中的主要开放问题。

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这本书的目的是全面概述在算法的数学分析中使用的主要技术。涵盖的材料从经典的数学主题,包括离散数学,基本的真实分析,和组合学,以及从经典的计算机科学主题,包括算法和数据结构。重点是“平均情况”或“概率”分析,但也涵盖了“最坏情况”或“复杂性”分析所需的基本数学工具。我们假设读者对计算机科学和实际分析的基本概念有一定的熟悉。简而言之,读者应该既能写程序,又能证明定理。否则,这本书是自成一体的。

这本书是用来作为算法分析高级课程的教科书。它也可以用于计算机科学家的离散数学课程,因为它涵盖了离散数学的基本技术,以及组合学和重要的离散结构的基本性质,在计算机科学学生熟悉的背景下。传统的做法是在这类课程中有更广泛的覆盖面,但许多教师可能会发现,这里的方法是一种有用的方式,可以让学生参与到大量的材料中。这本书也可以用来向数学和应用数学的学生介绍与算法和数据结构相关的计算机科学原理。

尽管有大量关于算法数学分析的文献,但该领域的学生和研究人员尚未直接获得广泛使用的方法和模型的基本信息。本书旨在解决这种情况,汇集了大量的材料,旨在为读者提供该领域的挑战的欣赏和学习正在开发的先进工具以应对这些挑战所需的背景知识。补充的论文从文献,这本书可以作为基础的介绍性研究生课程的算法分析,或作为一个参考或基础的研究人员在数学或计算机科学谁想要获得这个领域的文献自学。

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图论因其在计算机科学、通信网络和组合优化方面的应用而成为一门重要的学科。它与其他数学领域的互动也越来越多。虽然这本书可以很好地作为图表理论中许多最重要的主题的参考,但它甚至正好满足了成为一本有效的教科书的期望。主要关注的是服务于计算机科学、应用数学和运筹学专业的学生,确保满足他们对算法的需求。在材料的选择和介绍方面,已试图在基本的基础上容纳基本概念,以便对那些刚进入这一领域的人提供指导。此外,由于它既强调定理的证明,也强调应用,所以应该先吸收主题,然后对主题的深度和方法有一个印象。本书是一篇关于图论的综合性文章,主题是有组织的、系统的。这本书在理论和应用之间取得了平衡。这本书以这样一种方式组织,主题出现在完美的顺序,以便于学生充分理解主题。这些理论已经用简单明了的数学语言进行了描述。这本书各方面都很完整。它将为主题提供一个完美的开端,对主题的完美理解,以及正确的解决方案的呈现。本书的基本特点是,概念已经用简单的术语提出,并详细解释了解决过程。

这本书有10章。每一章由紧凑但彻底的理论、原则和方法的基本讨论组成,然后通过示例进行应用。本书所介绍的所有理论和算法都通过大量的算例加以说明。这本书在理论和应用之间取得了平衡。第一章介绍图。第一章描述了同构、完全图、二部图和正则图的基本和初等定义。第二章介绍了不同类型的子图和超图。本章包括图形运算。第二章还介绍了步行、小径、路径、循环和连通或不连通图的基本定义。第三章详细讨论了欧拉图和哈密顿图。第四章讨论树、二叉树和生成树。本章深入探讨了基本电路和基本割集的讨论。第五章涉及提出各种重要的算法,在数学和计算机科学中是有用的。第六章的数学前提包括线性代数的第一个基础。矩阵关联、邻接和电路在应用科学和工程中有着广泛的应用。第七章对于讨论割集、割顶点和图的连通性特别重要。第八章介绍了图的着色及其相关定理。第九章着重介绍了平面图的基本思想和有关定理。最后,第十章给出了网络流的基本定义和定理。

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W. Keith Nicholson的《线性代数与应用》,传统上出版多年,现在作为开放教育资源和Lyryx的一部分发布与开放文本!支持今天的学生和教师需要更多的教科书,这就是为什么尼克尔森博士选择与Lyryx学习工作。

总的来说,教材的目标是在计算技能,理论和线性代数的应用之间达到平衡。它是线性代数的思想和技术的一个相对先进的介绍,目标是科学和工程学生,他们不仅需要理解如何使用这些方法,而且还需要深入了解为什么他们工作。

它介绍了线性代数的一般思想远早于竞争保持与线性代数相同的严格和简洁的方法。随着许多图表和例子,帮助学生形象化,它也保持与概念的不断介绍。

课程内容有足够的灵活性,可以呈现一个传统的主题介绍,或者允许一个更实用的课程。第1-4章为初学者开设了一学期的课程,而第5-9章为第二学期的课程。这本教科书主要是关于实数线性代数的,在适当的时候提到了复数(在附录A中回顾)。

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矩阵代数是数据分析和统计理论中最重要的数学领域之一。这本书的第一部分为统计中的应用提出矩阵代数的理论的相关方面。本部分从向量和向量空间的基本概念开始,接着介绍矩阵的基本代数性质,然后描述向量和矩阵在多元演算中的解析性质,最后讨论线性系统解和特征分析中矩阵的运算。这部分基本上是独立的。

本书的第二部分开始考虑在统计中遇到的各种类型的矩阵,例如投影矩阵和正定矩阵,并描述这些矩阵的特殊性质。第二部分也介绍了矩阵理论在统计中的一些应用,包括线性模型、多元分析和随机过程。本部分说明了在本书第一部分中发展的矩阵理论。书的前两个部分可以作为为统计学生的矩阵代数课程的文本,或作为在线性模型或多元统计的各种课程的补充文本。

这本书的第三部分涵盖了数值线性代数。它以数值计算的基础讨论开始,然后描述精确和有效的算法因式分解矩阵,求解线性方程组,并提取特征值和特征向量。虽然这本书没有捆绑到任何特定的软件系统,它描述并给出了使用数字线性代数的现代计算机软件的例子。这部分基本上是自包含的,尽管它假设有一些能力用Fortran或C编程和/或使用R/S-Plus或Matlab的能力。书的这一部分可以作为在统计计算中的一门课程的文本使用,或者作为强调计算的各种课程的补充文本。

这本书包括大量的练习,并在附录中提供了一些解决方案。

James E. Gentle是乔治梅森大学计算统计学教授。他是美国统计协会(ASA)和美国科学促进会的会员。他曾在美国标准局担任过几个国家职务并担任过美国标准局期刊的副主编以及其他统计和计算期刊的副主编。他是随机数生成和蒙特卡罗方法,第二版,和计算统计元素的作者。

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通过人工神经网络等获得的预测具有很高的准确性,但人类经常将这些模型视为黑盒子。对于人类来说,关于决策制定的洞察大多是不透明的。在医疗保健或金融等高度敏感领域,对决策的理解至关重要。黑盒子背后的决策要求它对人类来说更加透明、可问责和可理解。这篇综述论文提供了基本的定义,概述了可解释监督机器学习(SML)的不同原理和方法。我们进行了最先进的综述,回顾过去和最近可解释的SML方法,并根据介绍的定义对它们进行分类。最后,我们通过一个解释性的案例研究来说明原则,并讨论未来的重要方向。

https://www.zhuanzhi.ai/paper/d34a1111c1ab9ea312570ae8e011903c

目前人工智能(AI)模型的准确性是显著的,但准确性并不是最重要的唯一方面。对于高风险的领域,对模型和输出的详细理解也很重要。底层的机器学习和深度学习算法构建的复杂模型对人类来说是不透明的。Holzinger等人(2019b)指出,医学领域是人工智能面临的最大挑战之一。对于像医疗这样的领域,深刻理解人工智能的应用是至关重要的,对可解释人工智能(XAI)的需求是显而易见的。

可解释性在许多领域很重要,但不是在所有领域。我们已经提到了可解释性很重要的领域,例如卫生保健。在其他领域,比如飞机碰撞避免,算法多年来一直在没有人工交互的情况下运行,也没有给出解释。当存在某种程度的不完整时,需要可解释性。可以肯定的是,不完整性不能与不确定性混淆。不确定性指的是可以通过数学模型形式化和处理的东西。另一方面,不完全性意味着关于问题的某些东西不能充分编码到模型中(Doshi-Velez和Kim(2017))。例如,刑事风险评估工具应该是公正的,它也应该符合人类的公平和道德观念。但伦理学是一个很宽泛的领域,它是主观的,很难正式化。相比之下,飞机避免碰撞是一个很容易理解的问题,也可以被精确地描述。如果一个系统能够很好地避免碰撞,就不用再担心它了。不需要解释。

本文详细介绍了可解释SML的定义,并为该领域中各种方法的分类奠定了基础。我们区分了各种问题定义,将可解释监督学习领域分为可解释模型、代理模型拟合和解释生成。可解释模型的定义关注于自然实现的或通过使用设计原则强制实现的整个模型理解。代理模型拟合方法近似基于黑盒的局部或全局可解释模型。解释生成过程直接产生一种解释,区分局部解释和全局解释。

综上所述,本文的贡献如下:

  • 对五种不同的解释方法进行形式化,并对整个解释链的相应文献(分类和回归)进行回顾。
  • 可解释性的原因,审查重要领域和可解释性的评估
  • 这一章仅仅强调了围绕数据和可解释性主题的各个方面,比如数据质量和本体
  • 支持理解不同解释方法的连续用例
  • 回顾重要的未来方向和讨论

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斯坦福大学Stephen Boyd教授与加州大学Lieven Vandenberghe教授合著的应用线性代数导论:向量、矩阵和最小二乘法《Introduction to Applied Linear Algebra – Vectors, Matrices, and Least Squares》在2018年由剑桥大学出版社发行,开源书包含19章,473页pdf,这本书的目的是提供一个介绍向量,矩阵,最小二乘方法,应用线性代数的基本主题。目标是让学生通俗易懂,入门学习。让学习者了解在包括数据拟合、机器学习和人工智能,断层、导航、图像处理、金融、和自动控制系统的应用。是一本不可多得好教材。​

Stephen P. Boyd是斯坦福大学电子工程Samsung 教授,信息系统实验室电子工程教授,斯坦福大学电子工程系系主任。他在管理科学与工程系和计算机科学系任职,是计算与数学工程研究所的成员。他目前的研究重点是凸优化在控制、信号处理、机器学习和金融方面的应用。 https://web.stanford.edu/~boyd/

Lieven Vandenberghe,美国加州大学洛杉矶分校电子与计算机工程系和数学系教授

这本书的目的是提供一个介绍向量,矩阵,最小二乘方法,应用线性代数的基本主题。我们的目标是让很少或根本没有接触过线性代数的学生快速学习,以及对如何使用它们在许多应用程序中, 包括数据拟合、机器学习和人工智能, 断层、导航、图像处理、金融、和自动控制系统。

读者所需要的背景知识是熟悉基本的数学符号。我们只在少数地方使用微积分,但它并不是一个关键的角色,也不是一个严格的先决条件。虽然这本书涵盖了许多传统上作为概率和统计的一部分来教授的话题,比如如何将数学模型与数据相匹配,但它并不需要概率和统计方面的知识或背景。

这本书涉及的数学比应用线性代数的典型文本还少。我们只使用线性代数中的一个理论概念,线性无关,和一个计算工具,QR分解;我们处理大多数应用程序的方法只依赖于一种方法,即最小二乘(或某种扩展)。从这个意义上说,我们的目标是知识经济:仅用一些基本的数学思想、概念和方法,我们就涵盖了许多应用。然而,我们所提供的数学是完整的,因为我们仔细地证明了每一个数学命题。然而,与大多数介绍性的线性代数文本不同,我们描述了许多应用程序,包括一些通常被认为是高级主题的应用程序,如文档分类、控制、状态估计和组合优化。

这本书分为三部分。第一部分向读者介绍向量,以及各种向量运算和函数,如加法、内积、距离和角度。我们还将描述如何在应用程序中使用向量来表示文档中的字数、时间序列、病人的属性、产品的销售、音轨、图像或投资组合。第二部分对矩阵也做了同样的处理,最终以矩阵的逆和求解线性方程的方法结束。第三部分,关于最小二乘,是回报,至少在应用方面。我们展示了近似求解一组超定方程的简单而自然的思想,以及对这一基本思想的一些扩展,可以用来解决许多实际问题。

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