Deep neural networks are powerful tools for approximating functions, and they are applied to successfully solve various problems in many fields. In this paper, we propose a neural network-based numerical method to solve partial differential equations. In this new framework, the method is designed on weak formulations, and the unknown functions are approximated by deep neural networks and test functions can be chosen by different approaches, for instance, basis functions of finite element methods, neural networks, and so on. Because the spaces of trial function and test function are different, we name this new approach by Deep Petrov-Galerkin Method (DPGM). The resulted linear system is not necessarily to be symmetric and square, so the discretized problem is solved by a least-square method. Take the Poisson problem as an example, mixed DPGMs based on several mixed formulations are proposed and studied as well. In addition, we apply the DPGM to solve two classical time-dependent problems based on the space-time approach, that is, the unknown function is approximated by a neural network, in which temporal variable and spatial variables are treated equally, and the initial conditions are regarded as boundary conditions for the space-time domain. Finally, several numerical examples are presented to show the performance of the DPGMs, and we observe that this new method outperforms traditional numerical methods in several aspects.
翻译:深心神经网络是接近功能的强大工具, 用于成功解决许多领域的各种问题。 在本文中, 我们提出一个基于神经网络的数字方法, 以解决部分差异方程式。 在这个新框架中, 该方法是针对弱质配方设计的, 未知功能被深心神经网络所近似, 测试功能可以通过不同方法来选择, 例如, 有限元素方法的基础功能、 神经网络等。 由于试验功能和测试功能的空间不同, 我们用Deep Petrov- Galerkin 方法( DPGM) 来命名这个新的方法。 由此形成的线性系统不一定是对称和正方的, 所以分解的问题会用最不平方形的方法来解决。 以Poisson 问题为例, 以多种混合配方配方的混合式DPGM为根据的混合功能、 神经网络等。 此外, 我们运用DPGM 来解决两个基于时间方法的经典时间依赖时间的问题, 也就是说, 未知的功能是由神经网络所近似的, 其间可变空间变量和空间变数空间变量, 因此, 分立的问题会通过最不平面的方法来解决新的,, 显示新的 的 数字 格式的 格式 格式 的 的 的 格式 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 模式 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 和 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 和 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的