The monotone variational inequality is a central problem in mathematical programming that unifies and generalizes many important settings such as smooth convex optimization, two-player zero-sum games, convex-concave saddle point problems, etc. The extragradient method by Korpelevich [1976] is one of the most popular methods for solving monotone variational inequalities. Despite its long history and intensive attention from the optimization and machine learning community, the following major problem remains open. What is the last-iterate convergence rate of the extragradient method for monotone and Lipschitz variational inequalities with constraints? We resolve this open problem by showing a tight $O\left(\frac{1}{\sqrt{T}}\right)$ last-iterate convergence rate for arbitrary convex feasible sets, which matches the lower bound by Golowich et al. [2020]. Our rate is measured in terms of the standard gap function. The technical core of our result is the monotonicity of a new performance measure -- the tangent residual, which can be viewed as an adaptation of the norm of the operator that takes the local constraints into account. To establish the monotonicity, we develop a new approach that combines the power of the sum-of-squares programming with the low dimensionality of the update rule of the extragradient method. We believe our approach has many additional applications in the analysis of iterative methods.


翻译:单调差异性是数学编程中的一个中心问题,它统一和概括了许多重要环境,如平滑的二次曲线优化、双球零和游戏、二次曲折的轮廓问题等等。 Korpelevich [1976年] 的超升级方法是解决单调差异性不平等的最受欢迎的方法之一。尽管其历史悠久,而且来自优化和机器学习界的高度关注,但以下主要问题仍然未解决。单调和利普施奇茨的超升级方法在限制下变化的不平等性方面的最后一流趋同率是什么?我们通过展示紧紧的美元-left(frac{1unsqrt{Táright) 和调和调和调和调合的美元(tzright) 在任意的convex可行组合中采用最接近于高洛维奇等人([2020年] 的峰化方法。我们的进度是标准差距功能的衡量。我们结果的技术核心是新性绩效衡量的单一性 -- 相色剩余部分,这可以视为操作者规范的调整了操作者的标准性规范, 将本地式的平流动方法纳入了本地的特性。我们对调制式方法。

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