变系数微分方程的谱方法研究

项目名称： 变系数微分方程的谱方法研究

项目编号： No.11401235

项目类型： 青年科学基金项目

立项/批准年度： 2014

项目学科： 数理科学和化学

项目作者： 刘飞

作者单位： 华中科技大学

项目金额： 22万元

中文摘要： 研究变系数线性、非线性微分问题，无论在数学理论研究还是在物理过程模拟中都有极其重要的意义。本项目将研究解变系数非线性常微分方程与二维变系数变量可分的椭圆型偏微分方程的谱算法，应用于含有变系数数学物理方程的数值计算中。通过构造简单的微分算子、乘积算子和Chebyshev多项式与Ultrasoherical多项式之间的转换算子，在谱系数空间离散微分方程。对于非线性微分方程，我们采用离散的Chebyshev变换计算非线性项，用Newton方法迭代求解非线性方程组。对于二维变系数问题，我们用满足边值条件的基函数表示数值解，计算双变量函数的乘积矩阵，直接解带状的线性方程组，其计算复杂性为O(m^2 N^2), 其中m是矩阵的带宽，优于配置方法解二维微分方程的O(N^6)运算量。以此为基础，我们进一步解变密度的Navier-Stokes方程组。项目的研究将使谱方法应用于更广泛的问题求解中。

中文关键词： 谱方法；偏微分方程；Helmholtz方程；Sylvester矩阵方程；交替方向隐式方法

英文摘要： It is important to solve linear and nonlinear differential problems with variable coefficients both in mathematical theory and physics simulation. This project will study the solution of nonlinear ordinary differential equations with variable coefficients

英文关键词： Spectral methods；PDEs；Helmholtz equation；Sylvester matrix equation；Alternating direction implicit method