This paper is devoted to the construction and analysis of immersed finite element (IFE) methods in three dimensions. Different from the 2D case, the points of intersection of the interface and the edges of a tetrahedron are usually not coplanar, which makes the extension of the original 2D IFE methods based on a piecewise linear approximation of the interface to the 3D case not straightforward. We address this coplanarity issue by an approach where the interface is approximated via discrete level set functions. This approach is very convenient from a computational point of view since in many practical applications the exact interface is often unknown, and only a discrete level set function is available. As this approach has also not be considered in the 2D IFE methods, in this paper we present a unified framework for both 2D and 3D cases. We consider an IFE method based on the traditional Crouzeix-Raviart element using integral values on faces as degrees of freedom. The novelty of the proposed IFE is the unisolvence of basis functions on arbitrary triangles/tetrahedrons without any angle restrictions, which is advantageous over the IFE using nodal values as degrees of freedom. The optimal bounds for the IFE interpolation errors are proved on shape-regular triangulations. For the IFE method, optimal a priori error and condition number estimates are derived with constants independent of the location of the interface with respect to the unfitted mesh. Numerical examples supporting the theoretical results are provided.


翻译:本文专门用三个维度来构建和分析沉浸的有限元素(IFE) 方法。 与 2D 情况不同, 界面的交叉点点和四面的边缘通常不是共平线, 这使得基于3D 情况接口的平面线性近似线性扩展原始的 2D IFE 方法不那么简单。 我们用一个界面通过离散级别设定功能相近的方法来解决这一共和性问题。 从计算的角度看, 这种方法非常方便, 因为在许多实际应用中, 精确的界面往往未知, 只有离散的设定函数功能。 由于2D IFE 方法中也没有考虑这个方法, 这使得我们为 2D 和 3D 情况提供了一个统一的框架。 我们考虑基于传统的 Crouzeix- Ravirart 元素的方法, 其面面面面部的集值是自由度。 拟议的IFE 方法的新颖性是基础函数的单线性功能, 其任意的三角/ Terradron 功能往往不为任何角值设定结果。 由于2D IFE 的极值, 的极值在前三维值上被证实为最优的IFE 。

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