Multigraded Betti numbers are one of the simplest invariants of multiparameter persistence modules. This invariant is useful in theory -- it completely determines the Hilbert function of the module and the isomorphism type of the free modules in its minimal free resolution -- as well as in practice -- it is sometimes easy to visualize and it is one of the main outputs of current multiparameter persistent homology software, such as RIVET. However, to the best of our knowledge, no bottleneck stability result with respect to the interleaving distance has been established for this invariant so far, and this potential lack of stability limits its practical applications. We prove a stability result for multigraded Betti numbers, using an efficiently computable bottleneck-type dissimilarity function we introduce. Our notion of matching is inspired by recent work on signed barcodes, and allows matching of bars of the same module in homological degrees of different parity, as well as for matchings of bars of different modules in homological degrees of the same parity. Our stability result is a combination of Hilbert's syzygy theorem, Bjerkevik's bottleneck stability for free modules, and a novel stability result for projective resolutions. We also prove, in the $2$-parameter case, a $1$-Wasserstein stability result for Hilbert functions with respect to the $1$-presentation distance of Bjerkevik and Lesnick.
翻译:多级贝蒂数字是多参数持久性模块的最简单变量之一。 这种变量在理论上是有用的。 它在理论上完全决定模块的Hilbert函数和自由模块的自由模块的无变式类型, 在其最低自由分辨率中, 以及在实践中, 它有时很容易想象, 它是当前多参数持续同质软件, 如 RiveT 的主要产出之一。 然而, 根据我们所知, 迄今尚未为这一变量的互换距离建立瓶颈稳定性, 而这种不稳定的可能性限制了它的实际应用。 我们证明, 多级贝蒂数字的多级、 多级、 多级、 多级、 软性、 软性、 软性、 软性、 软性、 软性、 软性、 软性、 软性、 软性、 软性、 软性、 软性、 软性、 软性、 软性、 软性、 软性、 软性、 软性、 软性、 软性、 软性、 软性、 软性、 软性、 软性、 软性、 软性、 软性、 软性、 软性、 软性、 软性、 软性、 软性、 软性、 软性、 软性、 软性、 软性、 软性、 软性、 软性、 软性、 软性、 软性、 软性、 软性、 软性、 软性、 软性、 软性、 软性、 软性、 软性、 软性、 软性、 软性、 和性、 软性、 软性、 软性、 制、 等、 制、 制、 等、 等、 等、 等、 等、 等、 和性、 等、 等、 等、 等、 等、 等、 等、 等、 等、 等、 等、 等、 等、 等、 和性、 和性、 等、 等、 等、 等、 等、 等、 等、 等、 等、 等、 等、 等、 等、 等、 等、