Reed-Muller codes were introduced in 1954, with a simple explicit construction based on polynomial evaluations, and have long been conjectured to achieve Shannon capacity on symmetric channels. Major progress was made towards a proof over the last decades; using combinatorial weight enumerator bounds, a breakthrough on the erasure channel from sharp thresholds, hypercontractivity arguments, and polarization theory. Another major progress recently established that the bit error probability vanishes slowly below capacity. However, when channels allow for errors, the results of Bourgain-Kalai do not apply for converting a vanishing bit to a vanishing block error probability, neither do the known weight enumerator bounds. The conjecture that RM codes achieve Shannon capacity on symmetric channels, with high probability of recovering the codewords, has thus remained open. This paper closes the conjecture's proof. It uses a new recursive boosting framework, which aggregates the decoding of codeword restrictions on `subspace-sunflowers', handling their dependencies via an $L_p$ Boolean Fourier analysis, and using a list-decoding argument with a weight enumerator bound from Sberlo-Shpilka. The proof does not require a vanishing bit error probability for the base case, but only a non-trivial probability, obtained here for general symmetric codes. This gives in particular a shortened and tightened argument for the vanishing bit error probability result of Reeves-Pfister, and with prior works, it implies the strong wire-tap secrecy of RM codes on pure-state classical-quantum channels.


翻译:Reed-Muller码是在1954年引入的,基于多项式求值的简单明了的显式构建。长期以来,人们一直猜测它们可以在对称信道上达到Shannon容量。近几十年来,已经取得了重大进展,如利用组合重量枚举器界限、研究纠删通道的尖锐阈值、超收缩性和极化理论。最近,又有一个重大进展,证明了当通道允许出错时,比特错误概率会在接近容量时逐渐变小。然而,对于将逐渐变小的比特错误概率转化为逐渐变小的块错误概率,Bourgain-Kalai的结果并不适用,也不适用于已知的重量枚举器界限。因此,RM码在对称通道上可以高概率恢复码字的猜想仍然未能解决。本论文给出了该猜想的证明。它采用了一种新的递归增强框架,通过对“子空间向日葵”上的码字约束进行解码聚合,利用$L_p$布尔傅里叶分析处理其依赖关系,并使用Sberlo-Shpilka的重量枚举器界限和列表解码方法。此证明并不需要基本情况下比特错误概率趋近于零,而只需要一个非平凡的概率,这在一般的对称码字中获得。这尤其意味着在纯态经典-量子信道上,RM码的强无线窃听保密性得到了证明,同时缩短和紧化了Reeves-Pfister的比特错误概率结果的论证。

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