TPAMI 2022 | 利用子图同构计数提升图神经网络的表达能力

©作者 | 桑士龙

来源 | MIND Laboratory

论文标题：

Improving Graph Neural Network Expressivity via Subgraph Isomorphism Counting

论文地址：

https://arxiv.org/pdf/2006.09252.pdf

论文介绍

尽管图神经网络（GNNs）在很多的应用中都取得了很大的成绩，但是最近研究发现 GNNs 捕捉底层图结构上仍然有缺陷。研究表明标准的 GNNs 表达能力受到 Weisfeiler-Leman（WL）图同构测试的限制，例如无法检测和计数图的子结构，然而在一些任务中的子结构往往与下游任务密切相关。因此，本文提出了图结构网络（GSN），是一种基于子结构编码的拓扑感知的消息传递方案，并分析了 GSN 的表达能力，证明了它比 WL test 的表达能力更强，还证明了它的普适性。

在复杂的网络中，子结构是十分重要的，但是大多数 GNNs 依靠多个消息传递过程来使该节点发现全图的结构。

本文提出了三个问题：

（1）如何超越各向同性，也就是局部对称和聚合函数

（2）如何确保 GNNs 知道图的结构？

（3）如何不牺牲同构性和 GNNs 泛化能力的前提下实现上述的目标？

作者首先通过在聚合函数中引入结构信息来打破局部对称问题：每个邻居（消息）的贡献根据其与节点中心的结构关系进行不同的转换，这些关系是通过计算某些子结构的外观来表示的。这样可以解决问题 1 和问题 2，而子结构对顶点的排列是不变的，所以 GNNs 对同构是不变的，因此可以解决问题 3。

基本概念

令 表示图 G， 是一张子图，其中 .

2.1 同构和自同构

如果存在邻接保留双向映射（adjacency-preserving bijective mapping） ，即若 ，使得 ，则称图 G 和图 H 同构，记为 。对于给定的一个小图 H，子图同构问题相当于找到图 G 中的一个子图 使得 ，而 H 的自同构则是将 H 映射到自身上，所有唯一的自同构集合形成了图的自同构群，它包含了图的所有可能的对称，记为 Aut（H）。

自同构群将顶点划分为 的不相交子集，这个子集称为“轨道”。这可以通过对顶点的结构角色进行划分，例如在图 1 中一条路径上的末端点，或者一个环上的所有顶点。

一个节点 的轨道，是它可以通过自同构映射到的节点集合

当所有轨道的集合作用于图 H 上时：

称为自同构的商。文中主要关注的是集合中唯一的元素 ， 其中 是商的基数。

文中同样通过对边的自同构定义了边的结构角色，也就是从边到它自身的双向映射，保持了边的邻接性（如果两条边共享一个端点，则它们就是相邻的）。每个顶点自同构 g 通过将每条边 (u,v) 映射到 (g(u), g(v)) 来产生边自同构。文中同样构造了边自同构群，并推导了边集合在边轨道上的划分 。

2.2 Weisfeiler-Leman tests

WL test 是判断两个图是否同构的快速启发式，每个顶点 v 最初被分配一个颜色 ，并通过聚合邻居信息迭代改进：

其中：

表示一个多重集（允许元素重复的集合），N(v) 表示节点 v 的邻居。WL 算法在颜色停止变化时停止，并输出颜色的直方图。具有不同直方图的两个图不是同构的，但如果直方图相同，这两个图也有可能不同构。

实验过程

图由具有重复结构角色的节点或者边组成，但是 GNNs 中的节点被当做同样的角色进行操作，因此不知道节点的不同结构角色。尽管最初直觉认为 GNNs 可以通过构造更深层的架构来发现这些角色的不同，但实际上 GNNs 并不能达到这个目的，并且无视结构的属性，例如三角形或者更大的循环。因此，文中显式的将结构角色编码为消息传递的一部分。

定义一个小的连接图 ，对于每一个 ，首先找到他在 G 中的同构子图 。对于每一个节点 ，通过获取它在 H 中映射的轨道 f(v) 来推断它在 H 中的角色 。通过计算 v 中不同轨道的所有可能出现的情况，可以获得顶点 v 的结构特征 ：

存在 |Aut(H)| 不同函数 f 可以将子图 映射到 H，但是他们中的任何一个都可以用来确定每个节点 v 的轨道映射。结合 H 中不同子结构和不同轨道计数，得到特征向量：

其中维度 同样可以通过计算边自同构轨道出现次数得到边特征：

3.1 结构消息传递

图子结构层定义为消息传递网络（MPNN），其中也传递了结构信息。每个节点 v 通过将之前的状态与聚合的消息结合起来更新自身的状态  

其中 是一个任意的函数逼近器，例如 MLP； 是一个邻居聚合函数； 是边特征。GSN-v 和 GSN-e 分别对应顶点计数和边计数。

3.2 GSNs的性能

文中给出了定理 3.1 已经它的证明。因为 GSN 模型包含 MPNN，因此其至少具有和 MPNN 一样的表达能力，也证明了 GSN 至少与 1 阶 WL test 具有同样的表达能力。

除了表达性能的证明外，文中还证明了 GSNs 的普适性：因为子结构集合 H 包含了所有大小为 k=n-1 的图，所以 GSN 可以区分所有大小为 n 的非同构图，因此具有普适性。

对于集合中的每个图 H，顶点结构标识符可以由相应的边标识符重构，因此可以证明对于每一个 GSN-v，都存在一个 GSN-e 可以模拟 GSN-v 的行为。

图 3 针对最坏的情况对计数算法的运行时间进行了定量分析，针对三种不同的图分布：分子、蛋白质联系图、社交网络。当图是稀疏的（对于前两种情况），匹配的数量很少，算法比最坏的情况要快得多，同时随着图 n 的大小，它的伸缩性更好。在社交网络图中，运行时间也比最坏情况更好。

实验结果

测试了 TUD 数据集上的图分类精度，在大部分数据集上 GSN 取得了最好的精确度。

测试 ZINC 数据集中的平均绝对误差（MAE），GSN 的平均绝对误差最小，且远小于 GCN。

图 5 比较了不同子结构族（循环、路径和非同构树：每个实验都使用家族中所有大小 ≤ k 的子结构）的训练和测试误差

GSN 在各种数据集上获得了较高的性能，并且常常优于其他传统的消息传递网络的性能。

总结

本文提出了一种设计结构感知图神经网络的新方法。由于传统 GNNs 在捕获图的重要拓扑属性方面存在局限性，作者制定了一种消息传递方案，增强了通过子图同构提取的结构特征。最后通过实验验证了这个模型可以改进表达能力，并在现实场景中获得了最先进的性能。

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