Let $G = (V, E)$ be an undirected connected simple graph on $n$ vertices. A cut-equivalent tree of $G$ is an edge-weighted tree on the same vertex set $V$, such that for any pair of vertices $s, t\in V$, the minimum $(s, t)$-cut in the tree is also a minimum $(s, t)$-cut in $G$, and these two cuts have the same cut value. In a recent paper [Abboud, Krauthgamer and Trabelsi, 2021], the authors propose the first subcubic time algorithm for constructing a cut-equivalent tree. More specifically, their algorithm has $\widetilde{O}(n^{2.5})$ running time. In this paper, we improve the running time to $\widehat{O}(n^2)$ if almost-linear time max-flow algorithms exist. Also, using the currently fastest max-flow algorithm by [van den Brand et al, 2021], our algorithm runs in time $\widetilde{O}(n^{17/8})$.
翻译:让 $G = ( V, E) 美元 = ( V, e) 是一个没有方向的连接简单图表 。 切成等值的树 $G$ 是在同一顶端上设定为 $V 的边缘加权树 。 更具体地说, 对于任何一对顶脊( $), t\ n V$, 树中最小的美元 = (s, t) 美元 = $( $) 的切成值, 而这两个切成值相同 。 在最近的一篇论文中[ Abboud, Krauthgamer 和 Trabelsi, 2021], 作者提出了建造一个切成等值树的第一个亚基值时间算法。 更具体地说, 他们的算法有 $\ 百利特尔德{ O} (n 2.5} 运行时间。 在本文中, 如果存在几乎线上时间最大流算法的话, 我们的运行时间将改进为$\ 2 。 。 另外, 使用目前 [van brand et et al, 2021], 我们的算以时间 $_ = = = yl_ 。