Multi-structural (MS) games are combinatorial games that capture the number of quantifiers of first-order sentences. On the face of their definition, MS games differ from Ehrenfeucht-Fraisse (EF) games in two ways: first, MS games are played on two sets of structures, while EF games are played on a pair of structures; second, in MS games, Duplicator can make any number of copies of structures. In the first part of this paper, we perform a finer analysis of MS games and develop a closer comparison of MS games with EF games. In particular, we point out that the use of sets of structures is of the essence and that when MS games are played on pairs of structures, they capture Boolean combinations of first-order sentences with a fixed number of quantifiers. After this, we focus on another important difference between MS games and EF games, namely, the necessity for Spoiler to play on top of a previous move in order to win some MS games. Via an analysis of the types realized during MS games, we delineate the expressive power of the variant of MS games in which Spoiler never plays on top of a previous move. In the second part we focus on simultaneously capturing number of quantifiers and number of variables in first-order logic. We show that natural variants of the MS game do not achieve this. We then introduce a new game, the quantifier-variable tree game, and show that it simultaneously captures the number of quantifiers and number of variables.
翻译:多结构游戏( MS) 是组合式游戏, 捕捉第一级句子的量化数。 在定义的表面上, MS 游戏与 Ehrenfeucht- Fraisse (EF) 游戏有两种不同方式: 首先, MS 游戏在两套结构上玩, 而 EF 游戏在一对结构上玩; 其次, 在 MS 游戏中, Duplicator 可以制作任何数量的架构副本。 在本文件的第一部分, 我们对 MS 游戏进行更精细的分析, 并对 MS 游戏与 EF 游戏进行更接近的比较。 特别是, 我们指出 MS 游戏的套游戏的使用是精髓的, 当 MS 游戏在两对结构的组合上玩的时候, 它们捕捉到一对一的组合, 而 EF 游戏是在两组结构上玩的组合; 之后, 我们集中关注 MS 游戏和 EF 游戏之间的另一个重要区别, 即 Spoilter 需要玩上之前的游戏, 来赢得一些 MS 游戏。 通过对在 MS MS 游戏中实现的种类的分析, 我们在前一个游戏的变式中, 在前一个变式中, 在前一个变式中, 显示前一个变式中, 我们在前一个变式中, 显示前的变式的变式中, 在前一个变式中, 我们的变式中, 在前一个变式中, 显示一个变式中, 我们的变式中, 我们的变式的变式的变式中, 显示一个变式中, 在前的变式中, 显示一个变式的变式中, 在前的变式中, 在前的变式中, 我们的变式中, 显示一个变式中, 在前一个变式中, 在前的变式中, 在前的变式中, 在前的变式中, 在前的变式中, 我们的变式的变式中, 我们的变式中, 我们的变式中, 我们的变式的变式中, 在前的变式中, 。