Stochastic differential equations projected onto manifolds occur in physics, chemistry, biology, engineering, nanotechnology and optimization, with interdisciplinary applications. Intrinsic coordinate stochastic equations on the manifold are often computationally impractical, and numerical projections are useful in many cases. We show that the Stratonovich interpretation of the stochastic calculus is obtained using adiabatic elimination with a constraint potential. We derive intrinsic stochastic equations for spheroidal and hyperboloidal surfaces for comparison purposes, and review some earlier projection algorithms. In this paper, a combined midpoint projection algorithm is proposed that uses a midpoint projection onto a tangent space, combined with a subsequent normal projection to satisfy the constraints. Numerical examples are given for a range of manifolds, including circular, spheroidal, hyperboloidal, and catenoidal cases, as well as higher-order polynomial constraints and a ten-dimensional hypersphere. We show that in all cases the combined midpoint method has greatly reduced errors compared to methods using a combined Euler projection approach or purely tangential projection. Our technique can handle multiple constraints. This allows manifolds that embody several conserved quantities. The algorithm is accurate, simple and efficient. An order of magnitude error reduction in diffusion distance is typically found compared to the other methods, with reductions of several orders of magnitude in constraint errors.


翻译:在物理、化学、生物学、工程、纳米技术和优化中,预测成形的方程式在物理、化学、生物学、生物学、工程、纳米技术和优化中都会出现沙变方程式,这些方程式在跨学科应用中,在计算上往往不切实际,而数字预测在许多情况下是有用的。我们表明,Stratonovich对沙变微积分的诠释是利用有限制潜力的透析法获得的。我们为比较目的,为近亲和双亲表面产生内在的沙变方程式,并审查一些早期的预测算法。在本文件中,建议采用中间点组合法,在切点空间上使用中点投影,加上随后的正常投影,以满足各种限制。我们给出了一系列的方程式的数值示例,包括圆形、人造形、双胞胎、双胞胎和催化案例,以及更高等级的多级多级多级约束和十维超级曲线。我们发现,混合中点法比使用混合的Eulner投影法或纯相近点空间,大大减少了误差。我们的方法可以将不同级的精度降序。

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