Let $K$ be a finite simplicial, cubical, delta or CW complex. The persistence map $\mathrm{PH}$ takes a filter $f:K \rightarrow \mathbb{R}$ as input and returns the barcodes $\mathrm{PH}(f)$ of the associated sublevel set persistent homology modules. We address the inverse problem: given a target barcode $D$, computing the fiber $\mathrm{PH}^{-1}(D)$. For this, we use the fact that $\mathrm{PH}^{-1}(D)$ decomposes as complex of polyhedra when $K$ is a simplicial complex, and we generalise this result to arbitrary based chain complexes. We then design and implement a depth first search algorithm that recovers the polyhedra forming the fiber $\mathrm{PH}^{-1}(D)$. As an application, we solve a corpus of 120 sample problems, providing a first insight into the statistical structure of these fibers, for general CW complexes.
翻译:允许 $K 是一个有限的简化、 立方、 delta 或 CW 组合 。 持久性映射 $\ mathrm{ PH} 以过滤 $f: K\ rightrow \ mathb{R} 美元作为输入, 并返回相关子级持续同系模块的条码$\ mathrm{ PH} (f) 美元 。 我们处理反向问题: 给目标条码$D$, 计算纤维$\ mathrm{ PH}-1} (D) 。 对此, 我们使用一个事实, $\ mathrm{ PH}-1} (D) 美元作为过滤器, 当 $K 是一个简单复杂时, 将它作为聚赫德拉 复合体的复合体 。 我们然后设计和实施一个深度搜索算法, 以恢复组成 $\ mathrm{ PH ⁇ -1} (D) 。 作为应用, 我们解决了 120 样板的问题,, 为一般 CW 复合体 提供对这些纤维的统计结构的首见 。