We develop an approach to choice principles and their contrapositive bar-induction principles as extensionality schemes connecting an "intensional" or "effective" view of respectively ill-and well-foundedness properties to an "extensional" or "ideal" view of these properties. After classifying and analysing the relations between different intensional definitions of ill-foundedness and well-foundedness, we introduce, for a domain $A$, a codomain $B$ and a "filter" $T$ on finite approximations of functions from $A$ to $B$, a generalised form GDC$_{A,B,T}$ of the axiom of dependent choice and dually a generalised bar induction principle GBI$_{A,B,T}$ such that: GDC$_{A,B,T}$ intuitionistically captures the strength of$\bullet$ the general axiom of choice expressed as $\forall a\exists\beta R(a, b) \Rightarrow\exists\alpha\forall a R(\alpha,(a \alpha (a)))$ when $T$ is a filter that derives point-wise from a relation $R$ on $A x B$ without introducing further constraints,$\bullet$ the Boolean Prime Filter Theorem / Ultrafilter Theorem if $B$ is the two-element set $\mathbb{B}$ (for a constructive definition of prime filter),$\bullet$ the axiom of dependent choice if $A = \mathbb{N}$,$\bullet$ Weak K{\"o}nig's Lemma if $A = \mathbb{N}$ and $B = \mathbb{B}$ (up to weak classical reasoning): GBI$_{A,B,T}$ intuitionistically captures the strength of$\bullet$ G{\"o}del's completeness theorem in the form validity implies provability for entailment relations if $B = \mathbb{B}$,$\bullet$ bar induction when $A = \mathbb{N}$,$\bullet$ the Weak Fan Theorem when $A = \mathbb{N}$ and $B = \mathbb{B}$.Contrastingly, even though GDC$_{A,B,T}$ and GBI$_{A,B,T}$ smoothly capture several variants of choice and bar induction, some instances are inconsistent, e.g. when $A$ is $\mathbb{B}^\mathbb{N}$ and $B$ is $\mathbb{N}$.
翻译:我们开发了一种选择原则及其反正的透明原则,作为扩展性方案,将“强化”或“有效”观点分别连接到“扩展”或“理想”的属性。在分类和分析关于缺乏基础和理由的不同强化定义之间的关系之后,我们引入了一个域 $ 的codmaine $B$ 和“过滤”美元, 功能的限定近似值从 $到 美元, 一种通用的GDC$ A, B, Txxx, 美元, 双通用的酒吧上岗原则 GB$ A, B, T}, 这样,G$ A, B 直觉地抓住地抓住了美元的力量, 一个域, 一个域, 以美元表示总体的xxx美元( b, bxxxxxx美元 美元), 一个基价的基价, 一个基价, 一个基- 美元, 一个基- 美元, 一个基点, 一个基- 美元, 一个基点, 一个基点, 一个基点, 一个基- 美元, 一个基, 一个基点, 一个基, 一个基, 一个基, 一个基, 一个基, 一个基, 一个基, 一个基, 一个基, 一个基, 一个基, 一个基, 一个基, 一个 美元, 一个基, 一个基, 一个基, 一个基, 一个基, 一个 美元, 一个基, 一个基, 一个基, 一个基, 一个基, 一个基, 美元, 一个基, 一个基, 一个基, 一个基, 一个基, 一个基, 一个基, 美元, 一个基, 一个基, 一个基, 一个基, 一个基, 一个基, 一个基, 一个基, 一个基, 一个基, 一个基, 一个基, 一个基, 一个基, 一个基, 一个基, 一个基, 一个基, 一个基, 一个基, 一个基, 一个基, 一个 美元, 一个 美元, 一个 美元, 一个 美元, 一个 美元, 一个 美元, 一个 美元, 一个基, 一个基, 一个基, 一个基, 一个基, 一个基, 一个基, 一个基, 一个基, 一个基, 一个基, 一个基, 一个基, 一个基, 一个基, 一个基, 一个基, 一个基, 一个基, 一个基, 一个基, 一个基, 一个基, 一个基, 一个