We study edge-labelings of the complete bidirected graph $\overset{\tiny\leftrightarrow}{K}_n$ with functions from the set $[d] = \{1, \dots, d\}$ to itself. We call a cycle in $\overset{\tiny\leftrightarrow}{K}_n$ a fixed-point cycle if composing the labels of its edges results in a map that has a fixed point, and we say that a labeling is fixed-point-free if no fixed-point cycle exists. For a given $d$, we ask for the largest value of $n$, denoted $R_f(d)$, for which there exists a fixed-point-free labeling of $\overset{\tiny\leftrightarrow}{K}_n$. Determining $R_f(d)$ for all $d >0$ is a natural Ramsey-type question, generalizing some well-studied zero-sum problems in extremal combinatorics. The problem was recently introduced by Chaudhury, Garg, Mehlhorn, Mehta, and Misra, who proved that $d \leq R_f(d) \leq d^4+d$ and showed that the problem has close connections to EFX allocations, a central problem of fair allocation in social choice theory. In this paper we show the improved bound $R_f(d) \leq d^{2 + o(1)}$, yielding an efficient ${{(1-\varepsilon)}}$-EFX allocation with $n$ agents and $O(n^{0.67})$ unallocated goods for any constant $\varepsilon \in (0,1/2]$; this improves the bound of $O(n^{0.8})$ of Chaudhury, Garg, Mehlhorn, Mehta, and Misra. Additionally, we prove the stronger upper bound $2d-2$, in the case where all edge-labels are permulations. A very special case of this problem, that of finding zero-sum cycles in digraphs whose edges are labeled with elements of $\mathbb{Z}_d$, was recently considered by Alon and Krivelevich and by M\'{e}sz\'{a}ros and Steiner. Our result improves the bounds obtained by these authors and extends them to labelings from an arbitrary (not necessarily commutative) group, while also simplifying the proof.


翻译:我们研究整个双向图形的边际标签 $\ overset\ tiny\ leightrown}M $的边际标签。 对于一个指定的 $,我们要求最大的值 $, =%1,\ dots, 美元本身。 我们称之为一个固定的周期 $ overset\ leftrightrow}K ⁇ n$。 如果将它的边界标签加到一个固定点的地图上, 我们说如果没有固定点周期, 标签是固定点的。 对于一个给定的 $, 我们要求最大的值 $, =0 =1, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 是一个固定的周期。 美元, 美元的边际标签是一个自然的 兰西型问题, 将一些很好地 = =% 的零和 。 最近由 Chaudhurthurdral_ 美元 表示这个问题由 Childral- ral_ lax lax max 。

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