WGAN新方案：通过梯度归一化来实现L约束

©PaperWeekly 原创 · 作者 | 苏剑林

单位 | 追一科技

研究方向 | NLP、神经网络

当前，WGAN 主流的实现方式包括参数裁剪（Weight Clipping）、谱归一化（Spectral Normalization）、梯度惩罚（Gradient Penalty），本来则来介绍一种新的实现方案：梯度归一化（Gradient Normalization），该方案出自两篇有意思的论文，分别是《Gradient Normalization for Generative Adversarial Networks》[1] 和《GraN-GAN: Piecewise Gradient Normalization for Generative Adversarial Networks》[2]。

有意思在什么地方呢？从标题可以看到，这两篇论文应该是高度重合的，甚至应该是同一作者的。但事实上，这是两篇不同团队的、大致是同一时期的论文，一篇中了 ICCV，一篇中了 WACV，它们基于同样的假设推出了几乎一样的解决方案，内容重合度之高让我一直以为是同一篇论文。果然是巧合无处不在啊～

基础回顾

关于 WGAN，我们已经介绍过多次，比如《互怼的艺术：从零直达WGAN-GP》和《从Wasserstein距离、对偶理论到WGAN》，这里就不详细重复了。简单来说，WGAN 的迭代形式为：

这里的关键是判别器 是一个带约束优化问题，需要在优化过程中满足 L 约束 ，所以 WGAN 的实现难度就是如何往 里边引入该约束。

这里再普及一下，如果存在某个常数 ，使得定义域中的任意 都满足 ，那么我们称 满足 Lipschitz 约束（L 约束），其中 的最小值，我们称为 Lipschitz 常数（L 常数），记为 。所以，对于 WGAN 判别器来说，要做到两步：1、 要满足 L 约束；2、L 常数要不超过 1。

事实上，当前我们主流的神经网络模型，都是“线性组合+非线性激活函数”的形式，而主流的激活函数是“近线性的”，比如 ReLU、LeakyReLU、SoftPlus 等，它们的导函数的绝对值都不超过 1，所以当前主流的模型其实都满足 L 约束，所以关键是如何让 L 常数不超过 1，当然其实也不用非 1 不可，能保证它不超过某个固定常数就行。

方案简介

参数裁剪和谱归一化的思路是相似的，它们都是通过约束参数，保证模型每一层的 L 常数都有界，所以总的 L 常数也有界；而梯度惩罚则是留意到 的一个充分条件是 ，所以就通过惩罚项 来施加“软约束”。

本文介绍的梯度归一化，也是基于同样的充分条件，它利用梯度将 变换为 ，使其自动满足 。具体来说，我们通常用 ReLU 或  LeakyReLU 作为激活函数，在这个激活函数之下， 实际上是一个“分段线性函数”，这就意味着，除了边界之外， 在局部的连续区域内都是一个线性函数，相应地， 就是一个常向量。

于是梯度归一化就想着令 ，这样一来就有

当然，这样可能会有除 0 错误，所以两篇论文提出了不同的解决方案，第一篇（ICCV论文）直接将 也加到了分母中，连带保证了函数的有界性：

第二篇（WACV论文）则是比较朴素地加了个 ：

同时第二篇也提到试验过 ，效果略差但差不多。

实验结果

现在我们先来看看实验结果。当然，能双双中顶会，实验结果肯定是正面的，部分结果如下图：

▲ ICCV论文的实验结果表格

▲ WACV论文的实验结果表格

▲ ICCV论文的生成效果演示

尚有疑问

结果看上去很好，理论看上去也没问题，还同时被两个顶会认可，看上去是一个好工作无疑了。然而，笔者的困惑才刚刚开始。

该工作最重要的问题是，如果按照分段线性函数的假设，那么 的梯度虽然在局部是一个常数，但整体来看它是不连续的（如果梯度全局连续又是常数，那么就是一个线性函数而不是分段线性了），然而 本身是一个连续函数，那么 就是连续函数除以不连续函数，结果就是一个不连续的函数！

所以问题就来了，不连续的函数居然可以作为判别器，这看起来相当不可思议。要知道这个不连续并非只在某些边界点不连续，而是在两个区域之间的不连续，所以这个不连续是不可忽略的存在。在 Reddit 上，也有读者有着同样的疑问，但目前作者也没有给出合理的解释（链接）。

另一个问题是，如果分段线性函数的假设真的有效，那么我用 作为判别器，理论上应该是等价的，但笔者的实验结果显示这样的 效果极差。所以，有一种可能性就是，梯度归一化确实是有效的，但其作用的原因并不像上面两篇论文分析的那么简单，也许有更复杂的生效机制我们还没发现。此外，也可能是我们对 GAN 的理解还远远不够充分，也就是说，对判别器的连续性等要求，也许远远不是我们所想的那样。

最后，在笔者的实验结果中，梯度归一化的效果并不如梯度惩罚，并且梯度惩罚仅仅是训练判别器的时候用到了二阶梯度，而梯度归一化则是训练生成器和判别器都要用到二阶梯度，所以梯度归一化的速度明显下降，显存占用量也明显增加。所以从个人实际体验来看，梯度归一化不算一个特别友好的方案。

文章小结

本文介绍了一种实现 WGAN 的新方案——梯度归一化，该方案形式上比较简单，论文报告的效果也还不错，但个人认为其中还有不少值得疑问之处。

参考文献

[1] https://arxiv.org/abs/2109.02235

[2] https://arxiv.org/abs/2111.03162

[3]https://www.reddit.com/r/MachineLearning/comments/pjdvi4/r_iccv_2021_gradient_normalization_for_generative/

特别鸣谢

感谢 TCCI 天桥脑科学研究院对于 PaperWeekly 的支持。TCCI 关注大脑探知、大脑功能和大脑健康。

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