再谈变分自编码器（VAE）：估计样本概率密度

2021 年 12 月 23 日 PaperWeekly

©PaperWeekly 原创 · 作者 | 苏剑林

单位 | 追一科技

研究方向 | NLP、神经网络

在本系列的前面几篇文章中，我们已经从多个角度来理解了 VAE，一般来说，用 VAE 是为了得到一个生成模型，或者是做更好的编码模型，这都是 VAE 的常规用途。但除了这些常规应用外，还有一些“小众需求”，比如用来估计的概率密度，这在做压缩的时候通常会用到。

本文就从估计概率密度的角度来了解和推导一下 VAE 模型。

两个问题

所谓估计概率密度，就是在已知样本的情况下，用一个待定的概率密度簇去拟合这批样本，拟合的目标一般是最小化负对数似然：

但这纯粹都只是理论形式，还有诸多问题没有解决，主要可以归为两个大问题：

1. 用什么样的去拟合；

2. 用什么方法去求解上述目标。

混合模型

第一个问题，我们自然是希望的拟合能力越强越好，最好它有能力拟合所有概率分布。然而很遗憾的是，神经网络虽然理论上有万能拟合能力，但那只是拟合函数的能力，并不是拟合概率分布的能力，概率分布需要满足，后者通常难以保证。

直接的做法做不到，那么我们就往间接的角度想，构建混合模型：

其中通常被选择为无参数的简单分布，比如标准正态分布；而则是带参数的、以为条件的简单分布，比如均值、方差跟相关的标准正态分布。

从生成模型的角度来看，上述模型被解释为先从中采样，然后传入中生成的两步操作。但本文的焦点是估计概率密度，我们之所以选择这样的，是因为它有足够的拟合复杂分布的能力，最后的表示为了多个简单分布的平均，了解高斯混合模型的读者应该知道，这样的模型能够起到非常强的拟合能力，甚至理论上能拟合任意分布，所以分布的拟合能力有保证了。

重要采样

但式（2）是无法简单积分出来的，或者说只有这种无法简单显式地表达出来的分布，才具有足够强的拟合能力，所以我们要估计它的话，都要按照的方式进行采样估计。然而，实际的场景下，和的维度比较高，而高维空间是有“维度灾难”的，这意思是说在高维空间中，我们哪怕采样百万、千万个样本，都很难充分地覆盖高维空间，也就是说很难准确地估计。

为此，我们要想办法缩小一下采样空间。首先，我们通常会将的方差控制得比较小，这样一来，对于给定，能够使得比较大的就不会太多，大多数算出来的都非常接近于零。于是我们只需要想办法采样出使得比较大的，就可以对进行一个比较好的估计了。

具体来说，我们引入一个新的分布，假设使得比较大的服从该分布，于是我们有

这样一来我们将从 “漫无目的”的采样，转化为从的更有针对性的采样。由于的方差控制得比较小，所以的方差自然也不会大，采样效率是变高了。注意在生成模型视角下，被视为后验分布的近似，但是从估计概率密度的视角下，它其实就是一个纯粹的重要性加权函数罢了，不需要特别诠释它的含义。

训练目标

至此，我们解决了第一个问题：用什么分布，以及怎么去更好地计算这个分布。剩下的问题就是如何训练了。

其实有了重要性采样的概念后，我们就不用考虑什么 ELBO 之类的了，直接使用目标（1）就好，代入的表达式得到：

事实上，如果这一步我们通过重参数只采样一个，那么训练目标就变成：

这其实已经就是常规 VAE 的训练目标了。如果采样个，那么就是：

这就是“重要性加权自编码器”了，出自《Importance Weighted Autoencoders》 [1] ，它被视为 VAE 的加强。总的来说，通过重要性采样的角度，我们可以绕过传统 VAE 的 ELBO 等繁琐推导，也可以不用《变分自编码器（二）：从贝叶斯观点出发》所介绍的联合分布视角，直接得到 VAE 模型甚至其改进版。