【经典书】《图论中的概率（第二版）》，275页pdf

这本书介绍了无序系统理论中的一些主要模型，引导读者从基础知识入手，逐步走向当代研究的最前沿，且尽量避免过多的技术性繁琐内容。涵盖的主题包括随机游走、渗流、自避游走、相互作用粒子系统、统一生成树、随机图，以及描述铁磁性的伊辛模型、波茨模型和随机簇模型，以及描述在随机介质中运动的洛伦兹模型。本版新增了关于最近重要进展的内容，包括六角格子的连通常数的精确值，以及平方格子上随机簇模型的临界点。所选主题与现代应用密切相关，重点关注值得进一步研究的领域。本书适合广泛的数学家和物理学家读者群体，且可以作为研究生课程教材。每章末尾都提供了一系列习题。 在当代概率论研究的动物园中，一些相关的对象近年来引起了概率学家和物理学家的极大兴趣。许多这些对象的灵感来源于物理学，但数学领域已经赋予它们独立的生命，许多美妙的构造也应运而生。本书的总体目标是识别出其中的一些主题，并在适合数学研究生的水平上发展其基本理论。 如果这些笔记中的两个主要角色是随机游走和渗流，那么它们只是统一生成树、自避游走、随机网络、铁磁性模型、疾病传播模型以及在随机环境中的运动理论丰富体系的一部分。这是一个吸引了许多优秀科学家的领域，可能正因为它独特的建模与问题解决的结合。依然存在许多未解的难题。作者的经验是，如果研究生群体能够接受启发和挑战，这些问题是可以成功解释的。 这里描述的材料可以用于个人学习，也可以作为时长16到48小时的讲座课程的基础。假设读者具备一些基本的概率论知识，但学生应愿意深入研究，以便从中受益。在设置考试时应谨慎，因为某些问题可能出乎意料地难。成功的考试设计是可以实现的，书中每章末尾提供了练习题，以帮助学生理解。作为常规考试的替代，学生也可以被要求就所学主题的某些方面或扩展内容做展示。 第1章致力于随机游走（图上的游走）与电气网络之间的关系。这引出了汤姆森和瑞利原理，进而证明了波利亚定理。在第2章中，我们描述了威尔逊算法构造统一生成树（UST），并讨论了晶格上UST的边界条件和弱极限。本章还简要介绍了Schramm–Lowner演化（SLE）。渗流理论首次出现在第3章，并简要介绍了自避游走。第4章介绍了相关不等式和其他一般技术。本书这一部分的一个特殊特点是对乘积测度的影响和锐临界阈值定理的相对充分处理，特别是对单调测度的一般处理。 我们在第5章中回到渗流的基本理论，包括对斯米尔诺夫证明卡尔迪公式的完整叙述。第6章则研究了晶格和树上的接触模型。第7章首先证明了吉布斯状态与马尔可夫场的等价性，接着介绍了伊辛模型和波茨模型。第8章介绍了随机簇模型。接下来的章节则讲述量子伊辛模型，特别是它与连续随机簇模型之间的关系，以及随之而来的随机几何分析。 第10章以相互作用粒子系统为基础。这是一个庞大的领域，本文只对接触、选民、排除模型以及随机伊辛模型做了简要介绍。第11章专门讨论了厄尔多斯–雷尼类型的随机图，内容包括巨型簇的研究，并通过应用Hoeffding不等式来研究马尔可夫链尾部的色数。最后，第12章讨论了随机几何学中最著名的未解难题之一——洛伦兹模型（或埃伦费斯特风–树模型）在平方晶格上的问题。 本书部分内容基于作者在剑桥大学数学三年级课程中的讲授，这些讲座课程已经准备成当前形式，作为2008年PIMS–UBC夏季概率学学校和2008年下半年巴黎亨利·庞加莱研究所统计力学项目的背景材料。部分内容则是在访问加利福尼亚大学洛杉矶分校数学系时编写的（部分得到NSF DMS-0301795资助），作者对洛杉矶数学系的热烈欢迎表示感谢，部分内容则是在艾萨克·牛顿研究所和亨利·庞加莱研究所–埃米尔·博雷中心的项目中完成的。 在本书中，作者提供了对所涵盖主题的更广泛资料的指引。参考文献的选择是实用性的，而非全面性的。作者感谢四位艺术家允许他们的作品在本书中展示：汤姆·肯尼迪（图2.1）、奥德·施拉姆（图2.2–2.4）、拉斐尔·塞尔夫（图5.2）和朱利安·杜贝达（图5.17）。关于影响力部分的内容受到了与罗布·范·登·伯格和汤姆·利盖特的对话启发。斯米尔诺夫和温德林·维尔纳同意在本书中加入他们一些未曾发表的精妙论证。许多读者提出了宝贵的建议和修改意见，感谢大家！