【牛津大学博士论文】深度学习数据驱动发现偏微分方程，160页pdf

从数据中发现隐藏的偏微分方程(PDEs)和算子是机器学习和数值分析之间的一个重要前沿课题。介绍了线性偏微分方程格林函数学习的理论结果和深度学习算法，并对偏微分方程格林函数学习技术进行了严格论证。导出了一个理论上严格的算法来获得学习率，它表征了近似学习与椭圆偏微分方程相关的格林函数所需的训练数据量。该结构通过将随机奇异值分解扩展到非标准高斯向量和Hilbert-Schmidt算子，利用层次矩阵利用格林函数的低秩层次结构，连接了PDE学习和数值线性代数领域。引入有理神经网络，由具有可训练有理激活函数的神经网络组成。这些网络的高组成结构，结合有理逼近理论，意味着有理函数比标准激活函数具有更高的逼近幂。此外，有理神经网络可能具有极点并具有任意大的值，这非常适合逼近具有奇点的函数，如格林函数。最后，结合格林函数和有理神经网络的理论成果，设计了一种从数据中发现格林函数的人类可理解的深度学习方法。这种方法补充了最先进的PDE学习技术，因为可以从学习到的格林函数中获得广泛的物理知识，如主导模、对称和奇点位置。本文旨在通过将标准数学领域(如数值线性代数、概率和偏微分方程分析)与现代深度学习技术相结合，了解是否可以从数据中发现偏微分方程(PDEs)。我们着重学习与线性偏微分方程相关的格林函数从一对强迫函数和解。推导了挖掘问题规律性的理论边界，提出了一种实用的深度学习算法。