We consider the problem of sampling from a $d$-dimensional log-concave distribution $\pi(\theta) \propto e^{-f(\theta)}$ constrained to a polytope $K$ defined by $m$ inequalities. Our main result is a "soft-threshold'' variant of the Dikin walk Markov chain that requires at most $O((md + d L^2 R^2) \times md^{\omega-1}) \log(\frac{w}{\delta}))$ arithmetic operations to sample from $\pi$ within error $\delta>0$ in the total variation distance from a $w$-warm start, where $L$ is the Lipschitz-constant of $f$, $K$ is contained in a ball of radius $R$ and contains a ball of smaller radius $r$, and $\omega$ is the matrix-multiplication constant. When a warm start is not available, it implies an improvement of $\tilde{O}(d^{3.5-\omega})$ arithmetic operations on the previous best bound for sampling from $\pi$ within total variation error $\delta$, which was obtained with the hit-and-run algorithm, in the setting where $K$ is a polytope given by $m=O(d)$ inequalities and $LR = O(\sqrt{d})$. When a warm start is available, our algorithm improves by a factor of $d^2$ arithmetic operations on the best previous bound in this setting, which was obtained for a different version of the Dikin walk algorithm. Plugging our Dikin walk Markov chain into the post-processing algorithm of Mangoubi and Vishnoi (2021), we achieve further improvements in the dependence of the running time for the problem of generating samples from $\pi$ with infinity distance bounds in the special case when $K$ is a polytope.
翻译:我们考虑的是来自美元维基对数分配 $\ pi (theta) 的采样问题。 美元算术操作到 美元在错误范围内的采样 $\\ delta > 0 美元, 由美元维基美元和美元不平等定义。 我们的主要结果是“ 软赛尔标准 ” 的Dikin Wolk Markov 链块的变种, 最多需要美元( (md + d L2 R2) 和 md ⁇ omega-1} 。 log (\ frac{w\ fdelta}) 美元运算到 dipil $( $美元) 的采样操作, 由美元基底值和美元运算的变异性 。 美元在之前的变异性中, 以美元 美元 。 美元 美元 。 美元 美元 美元 美元 。 美元 美元 美元 。 美元 美元 美元 。 美元 。 美元 美元 。 美元 美元 的变变数 。 。 美元 以 美元 以 美元 以 美元 美元 以 美元 美元 的方式 开始 。 。