We consider a generic decentralized constrained optimization problem over static, directed communication networks, where each agent has exclusive access to only one convex, differentiable, local objective term and one convex constraint set. For this setup, we propose a novel decentralized algorithm, called DAGP (Double Averaging and Gradient Projection), based on local gradients, projection onto local constraints, and local averaging. We achieve global optimality through a novel distributed tracking technique we call distributed null projection. Further, we show that DAGP can also be used to solve unconstrained problems with non-differentiable objective terms, by employing the so-called epigraph projection operators (EPOs). In this regard, we introduce a new fast algorithm for evaluating EPOs. We study the convergence of DAGP and establish $\mathcal{O}(1/\sqrt{K})$ convergence in terms of feasibility, consensus, and optimality. For this reason, we forego the difficulties of selecting Lyapunov functions by proposing a new methodology of convergence analysis in optimization problems, which we refer to as aggregate lower-bounding. To demonstrate the generality of this method, we also provide an alternative convergence proof for the gradient descent algorithm for smooth functions. Finally, we present numerical results demonstrating the effectiveness of our proposed method in both constrained and unconstrained problems.


翻译:我们认为,在静态、定向通信网络上,一般的分散式限制优化问题是一个一般性的、分散式的优化问题,每个代理商只能独家使用一个可区别的、可区别的、地方客观的术语和一个组合式的制约。对于这一设置,我们建议采用一种新的分散式算法,称为DAGP(多分流式和渐进式投影),以本地梯度为基础,投射到本地的制约和当地平均值为基础。我们通过一种我们称之为“零投影”的新型分布式跟踪技术实现全球最佳化。此外,我们表明,DAGP也可以使用所谓的缩影投影操作员(EPOs)来以非区别性客观术语解决不受限制的问题。在这方面,我们采用了一种新的快速算法来评价EPOs。我们研究了DGP的趋同性算法的趋同性,在可行性、共识和最佳性方面建立了$mamathcal-cality 。为此,我们排除了选择Lyapunov功能的困难,提出了一种在优化化问题上的新的趋同性分析方法,我们称之为“总体性综合式的趋同性分析方法”,最后,我们又展示了我们提出了一种稳定性的方法。

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