We develop a general framework for data-driven approximation of input-output maps between infinite-dimensional spaces. The proposed approach is motivated by the recent successes of neural networks and deep learning, in combination with ideas from model reduction. This combination results in a neural network approximation which, in principle, is defined on infinite-dimensional spaces and, in practice, is robust to the dimension of finite-dimensional approximations of these spaces required for computation. For a class of input-output maps, and suitably chosen probability measures on the inputs, we prove convergence of the proposed approximation methodology. We also include numerical experiments which demonstrate the effectiveness of the method, showing convergence and robustness of the approximation scheme with respect to the size of the discretization, and compare it with existing algorithms from the literature; our examples include the mapping from coefficient to solution in a divergence form elliptic partial differential equation (PDE) problem, and the solution operator for viscous Burgers' equation.


翻译:我们为无限空间之间输入-输出图的数据驱动近似度制定了一个总框架。拟议方法的动机是神经网络和深层次学习最近的成功,加上模型减少的理念。这种组合的结果是神经网络近似度,原则上,这种近似性是在无限空间上定义的,在实践中,对于计算所需的这些空间的有限维度近近似性来说是强有力的。对于一组输入-输出图和对输入的正确选择概率测量,我们证明拟议的近似方法是趋同的。我们还包括一些数字实验,这些实验显示了该方法的有效性,显示了近似法在离散规模方面的趋同性和稳健性,并与文献中的现有算法进行了比较;我们的例子包括从系数到偏差部分偏差方程(PDE)问题的解析方法,以及用于布尔格斯方程式的解决方案操作者。

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神经网络(Neural Networks)是世界上三个最古老的神经建模学会的档案期刊:国际神经网络学会(INNS)、欧洲神经网络学会(ENNS)和日本神经网络学会(JNNS)。神经网络提供了一个论坛,以发展和培育一个国际社会的学者和实践者感兴趣的所有方面的神经网络和相关方法的计算智能。神经网络欢迎高质量论文的提交,有助于全面的神经网络研究,从行为和大脑建模,学习算法,通过数学和计算分析,系统的工程和技术应用,大量使用神经网络的概念和技术。这一独特而广泛的范围促进了生物和技术研究之间的思想交流,并有助于促进对生物启发的计算智能感兴趣的跨学科社区的发展。因此,神经网络编委会代表的专家领域包括心理学,神经生物学,计算机科学,工程,数学,物理。该杂志发表文章、信件和评论以及给编辑的信件、社论、时事、软件调查和专利信息。文章发表在五个部分之一:认知科学,神经科学,学习系统,数学和计算分析、工程和应用。 官网地址:http://dblp.uni-trier.de/db/journals/nn/
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