In this paper we study the matrix completion problem: Suppose $X \in {\mathbb R}^{n_r \times n_c}$ is unknown except for an upper bound $r$ on its rank. By measuring a small number $m \ll n_r n_c$ of the elements of $X$, is it possible to recover $X$ exactly, or at least, to construct a reasonable approximation of $X$? At present there are two approaches to choosing the sample set, namely probabilistic and deterministic. Probabilistic methods can guarantee the exact recovery of the unknown matrix, but only with high probability. At present there are very few deterministic methods, and they mostly apply only to square matrices. The focus in the present paper is on deterministic methods that work for rectangular as well as square matrices, and where possible, can guarantee exact recovery of the unknown matrix. We achieve this by choosing the elements to be sampled as the edge set of an asymmetric Ramanujan graph or Ramanujan bigraph. For such a measurement matrix, we (i) derive bounds on the error between a scaled version of the sampled matrix and unknown matrix; (ii) derive bounds on the recovery error when max norm minimization is used, and (iii) present suitable conditions under which the unknown matrix can be recovered exactly via nuclear norm minimization. In the process we streamline some existing proofs and improve upon them, and also make the results applicable to rectangular matrices. This raises two questions: (i) How can Ramanujan bigraphs be constructed? (ii) How close are the sufficient conditions derived in this paper to being necessary? Both questions are studied in a companion paper.


翻译:在本文中,我们研究矩阵完成问题:假设美元=x美元=x 美元=x 美元= mathbb Rän_r\ times n_c},除了其排名上的上限值美元以外,美元是未知的。通过测量美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=

0
下载
关闭预览

相关内容

因果图,Causal Graphs,52页ppt
专知会员服务
246+阅读 · 2020年4月19日
专知会员服务
61+阅读 · 2020年3月4日
《DeepGCNs: Making GCNs Go as Deep as CNNs》
专知会员服务
30+阅读 · 2019年10月17日
Hierarchically Structured Meta-learning
CreateAMind
26+阅读 · 2019年5月22日
Transferring Knowledge across Learning Processes
CreateAMind
27+阅读 · 2019年5月18日
强化学习的Unsupervised Meta-Learning
CreateAMind
17+阅读 · 2019年1月7日
Unsupervised Learning via Meta-Learning
CreateAMind
42+阅读 · 2019年1月3日
A Technical Overview of AI & ML in 2018 & Trends for 2019
待字闺中
16+阅读 · 2018年12月24日
Disentangled的假设的探讨
CreateAMind
9+阅读 · 2018年12月10日
Hierarchical Imitation - Reinforcement Learning
CreateAMind
19+阅读 · 2018年5月25日
条件GAN重大改进!cGANs with Projection Discriminator
CreateAMind
8+阅读 · 2018年2月7日
Auto-Encoding GAN
CreateAMind
7+阅读 · 2017年8月4日
Pluralistic Image Completion
Arxiv
8+阅读 · 2019年3月11日
Implicit Maximum Likelihood Estimation
Arxiv
7+阅读 · 2018年9月24日
Arxiv
8+阅读 · 2018年5月15日
VIP会员
相关资讯
Hierarchically Structured Meta-learning
CreateAMind
26+阅读 · 2019年5月22日
Transferring Knowledge across Learning Processes
CreateAMind
27+阅读 · 2019年5月18日
强化学习的Unsupervised Meta-Learning
CreateAMind
17+阅读 · 2019年1月7日
Unsupervised Learning via Meta-Learning
CreateAMind
42+阅读 · 2019年1月3日
A Technical Overview of AI & ML in 2018 & Trends for 2019
待字闺中
16+阅读 · 2018年12月24日
Disentangled的假设的探讨
CreateAMind
9+阅读 · 2018年12月10日
Hierarchical Imitation - Reinforcement Learning
CreateAMind
19+阅读 · 2018年5月25日
条件GAN重大改进!cGANs with Projection Discriminator
CreateAMind
8+阅读 · 2018年2月7日
Auto-Encoding GAN
CreateAMind
7+阅读 · 2017年8月4日
相关论文
Top
微信扫码咨询专知VIP会员