In this paper, we propose a a machine learning approach via model-operator-data network (MOD-Net) for solving PDEs. A MOD-Net is driven by a model to solve PDEs based on operator representation with regularization from data. For linear PDEs, we use a DNN to parameterize the Green's function and obtain the neural operator to approximate the solution according to the Green's method. To train the DNN, the empirical risk consists of the mean squared loss with the least square formulation or the variational formulation of the governing equation and boundary conditions. For complicated problems, the empirical risk also includes a few labels, which are computed on coarse grid points with cheap computation cost and significantly improves the model accuracy. Intuitively, the labeled dataset works as a regularization in addition to the model constraints. The MOD-Net solves a family of PDEs rather than a specific one and is much more efficient than original neural operator because few expensive labels are required. We numerically show MOD-Net is very efficient in solving Poisson equation and one-dimensional radiative transfer equation. For nonlinear PDEs, the nonlinear MOD-Net can be similarly used as an ansatz for solving nonlinear PDEs, exemplified by solving several nonlinear PDE problems, such as the Burgers equation.


翻译:在本文中,我们提出了一个通过模型操作器数据网络(MOD-Net)解决PDEs的机器学习方法。一个MOD-Net是由一个模型驱动的,该模型基于操作员代表制的操作员代表制,从数据正规化来解决PDEs。对于线性 PDEs,我们使用 DNN 将Green 的功能参数化,并让神经操作员根据Green的方法来接近解决方案。为了培训 DNN, 经验风险包括平均平方损失, 最小方形配方或治理方程和边界条件的变异配方。对于复杂问题, 实验性风险还包括几个标签, 以廉价计算成本的粗价格网点计算, 大幅提高模型准确性。 直观而言, 贴标签的数据集除了模型限制之外, 还能起到调节作用。 MOD- Net 解决一个串生型的组合, 要比原始的神经操作员PDNet效率高得多, 因为需要很少昂贵的标签。 我们用数字显示 MOD-Net在解决Poisson 方程式和一维-D平面的平面的平面的平面的平面平面平面平面平面平面式平面平面平方方程式, 。

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