This work is concerned with linear matrix equations that arise from the space-time discretization of time-dependent linear partial differential equations (PDEs). Such matrix equations have been considered, for example, in the context of parallel-in-time integration leading to a class of algorithms called ParaDiag. We develop and analyze two novel approaches for the numerical solution of such equations. Our first approach is based on the observation that the modification of these equations performed by ParaDiag in order to solve them in parallel has low rank. Building upon previous work on low-rank updates of matrix equations, this allows us to make use of tensorized Krylov subspace methods to account for the modification. Our second approach is based on interpolating the solution of the matrix equation from the solutions of several modifications. Both approaches avoid the use of iterative refinement needed by ParaDiag and related space-time approaches in order to attain good accuracy. In turn, our new algorithms have the potential to outperform, sometimes significantly, existing methods. This potential is demonstrated for several different types of PDEs.


翻译:这项工作涉及时间依赖时间的线性线性部分方程(PDEs)的时分化产生的线性矩阵方程式。例如,这种矩阵方程式已经考虑过,例如,在平行时间整合的背景下,形成一种叫ParaDiag的算法。我们为这种方程式的数值解决方案制定和分析了两种新办法。我们的第一个办法是基于这样的观察,即ParaDiag为平行解决这些方程式而对这些方程式进行的修改排名较低。在以前对矩阵方程式进行低级别更新的基础上,这使我们能够利用索罗里化的Krylov子空间方法来核算修改。我们的第二种办法是基于从若干修改的解决方案中对矩阵方程式方程式的解决方案进行内插。两种办法都避免使用ParaDiag所要求的迭接式改进和相关的空间-时间方法,以便获得良好的准确性。反过来,我们的新算法有可能超越现有方法,有时很重要。这种潜力表现于几种不同的PDE。

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