This paper is concerned with the asymptotic behavior in $\beta$-H\"older spaces and under $L^p$ losses of a Dirichlet kernel density estimator proposed by Aitchison & Lauder (1985) for the analysis of compositional data. In recent work, Ouimet & Tolosana-Delgado (2022) established the uniform strong consistency and asymptotic normality of this nonparametric estimator. As a complement, it is shown here that for $p \in [1, 3)$ and $\beta \in (0, 2]$, the Aitchison--Lauder estimator can achieve the minimax rate asymptotically for a suitable choice of bandwidth, but that this estimator cannot be minimax when either $p \in [4, \infty)$ or $\beta \in (2, \infty)$. These results extend to the multivariate case, and also rectify in a minor way, earlier findings of Bertin & Klutchnikoff (2011) concerning the minimax properties of Beta kernel estimators.
翻译:本文关注Aitchison & Lauder (1985年) 提出的用于分析组成数据的 Dirichlet 内核密度测深仪在 $\ beta$-H\"老空间和在 $L ⁇ p$(美元) 和 $L$(美元) 下的损失。 在最近的工作中, Ouimet & Tolosana- Delgado (2022年) 建立了这个非对称估测器的统一强烈一致性和无损常性。 作为补充,这里显示,对于 $( 美元) 和 $( 美元) 和 $( 0. 2) 来说, Aitchison- Lauder 估测仪可以达到用于适当选择带宽的微速率, 但当 $( [4 、\ intyfty) 或 $\ betata \ y ( 2,\ infty) 美元时, 这个估测测算器不能小于 。 这些结果延伸到多变量案件,, 也以小方式纠正 Bertin & Kluchnastial estasticastial.