数学家证明30年前的「安德烈-奥尔特猜想」，推进多项式方程解探索

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数学家证明30年前的「安德烈-奥尔特猜想」，推进多项式方程解探索

2022 年 2 月 5 日 机器之心

选自quantamagazine

作者：Leila Sloman

机器之心编译

编辑：陈萍

数学家解决了一个重要问题，即多项式方程的解如何与称为志村变体的复杂几何对象相关联。

在数学中，「安德烈 - 奥尔特猜想」是丢番图几何（数论的一个分支）中的一个悬而未决的问题，它建立在 Manin-Mumford 猜想中的思想之上，该猜想现在是一个定理。

在去年发表的一篇论文（《Canonical Heights on Shimura Varieties and the André-Oort Conjecture》）中，来自牛津大学的 Jonathan Pila、威斯康星大学的 Ananth Shankar 和多伦多大学的 Jacob Tsimerman 三位数学家解决了一个 30 年前「安德烈 - 奥尔特猜想」问题，这项证明同时也推进了研究者对多项式方程解的探索。

论文地址：https://arxiv.org/pdf/2109.08788.pdf

伦敦大学学院的 Andrei Yafaev 表示：用来处理「安德烈 - 奥尔特猜想」的方法覆盖了整个数学领域。

论文从数学中最基本但最引人入胜的问题开始：例如多项式 x^3 + y^3 = z^3 什么时候有整数解（正数和负数的解）？1994 年，安德鲁・怀尔斯（Andrew Wiles）给出了这个问题的一个解决方案，证明了数论中历史悠久的费马大定理，这是 20 世纪最伟大的数学成就之一，安德鲁・怀尔斯并由此在 1998 年国际数学家大会上获得了国际数学联盟特别制作的菲尔兹奖银质奖章以及 2016 年的阿贝尔奖。

在寻求解决费马大定理和类似问题的过程中，众多数学家发展出越来越抽象的理论，这些理论引发了新的问题和猜想。

例如法国数学家 Yves André 于 1989 年提出了该猜想的原型版本，荷兰数学家 Frans Oort 于 1995 年提出了更一般的猜想。现代版本是这两个猜想的自然概括。「安德烈 - 奥尔特猜想」不是寻找多项式方程的整数解，而是关于涉及更复杂的几何对象的解，称为志村簇 (Shimura variety)。

2014 年，Yafaev 和柏林洪堡大学教授 Bruno Klingler 证明了这一点，取得了成功。他们的结果取决于黎曼假设的正确性 —— 但这个著名的难题仍未解决。而新论文通过明确的解决方案解决了这一差距。

安德烈 - 奥尔特猜想

安德烈 - 奥尔特猜想是关于代数簇的，从最基本的层面上来说，它只是一个多项式方程的所有解的集合。其存在很多变体：

半径为 1 的圆是一个变体：其点的坐标是多项式 x^2 + y^2 = 1 的解。直线 y = 0 也是一个变体。而这两者的交集 —— 点 (1, 0) 和 (-1, 0)—— 又是嵌套在前两者中的第三种变体。

「安德烈 - 奥尔特猜想」的核心变体是志村簇。虽然志村簇有几种不同类型的变体，但最简单的变体与椭圆曲线相关（如 y^2 = x^3 + 1 或 y^2 = x^3 + 3x + 2）。此外，还有更复杂的志村变体，其结构更为复杂。

「安德烈 - 奥尔特猜想」就是这样一个问题：志村变体的基本结构是什么，其本身就是许多现代数学的基础。

有趣的是变体可以存在于变体中，就像一条线和一个圆的相交会创建一个新的子变体。

多伦多大学 Jacob Tsimerman

安德烈 - 奥尔特猜想在蚀刻曲线（etched curve）不是志村变体的情况下做出预测。然后，它可能遇到的特殊点的数量有一个上限。数学家一直在努力验证安德烈 - 奥尔特猜想的上限。在 2000 年代末，澳大利亚数学家 Jonathan Pila 在引入一种计算特殊点数的新方法时，取得了重大进展。

为了证明「安德烈 - 奥尔特猜想」，Pila 首先要做的是了解其中一个变体上特殊点的数量。他通过给点分配一个称为「高度，height」的量来实现这一点。高度用来衡量一个特定点或值的复杂程度。例如数字 10 和 10.000017，一方面，这两个数字非常相似，但另一方面，它们显然不同。

「这两个都是有理数，它们大小接近，但复杂程度不同。」Shankar 表示。

量化这种复杂性的一种方法是将这些数字转换为简化的分数。数字的高度是该分数的分子或分母的绝对值 —— 以较大者为准。作为分数，数字 10 与 10/1 相同，因此 10 的高度为 10。但将 10.000017 重写为分数的最简单方法是 10000017/ 1000000，它的高度约为 1000 万。此外还有其他测量高度的方法。

为了证明「安德烈 - 奥尔特猜想」，Pila 需要证明志村变体中的非志村变体有没有很多特殊点。高度是执行此操作的有用工具。

牛津大学 Jonathan Pila

我们以高度最多为 2 的有理数来说，即使有无数个绝对值为 2 或小于 2 的有理数，但其中只有 7 个简单的、高度为 2 或以下的有理数：0 , 1，1/2，2 或它们的负数。一般来说，如果你能证明一组有理数的高度有一个上限，那么你就证明了这个集合的元素个数是有限的。

这样，高度与绝对值有很大的不同。Pila 利用这种差异，用不同的实数识别志村变体上的每个特殊点。然后他证明了这些相关的实数并不复杂 —— 它们的高度不会太大。这意味着与特殊点相关的实数是有限的。由于每个特殊点对应一个不同的实数，因此也只能有有限数量的特殊点。

Pila 的方法巧妙地避免了计算志村变体本身的高度。相反，他研究了实数的高度并将实数与志村变体联系起来。但这种策略只适用于非常简单的志村变体。

为了证明所有志村变体的「安德烈 - 奥尔特猜想」，Pila 和其他人需要想出一种直接测量高度的方法。

当 Pila 在「安德烈 - 奥尔特猜想」上取得令人兴奋的新进展时，当时还是普林斯顿大学研究生的 Tsimerman，在他导师 Peter Sarnak 的建议下，他开始着手解决这个问题。Pila 也是 Sarnak 的学生，当他 2009 年回到普林斯顿分享他的新发现时，他和 Tsimerman 一拍即合。