一文总览由信息论中“熵”引申出来的各种距离/差异度量

©作者 | 张维鸿

单位 | 中科院深先院

研究方向 | 计算生物学、迁移学习

信息熵

物理中热力学定律告诉我们世界是朝着熵增的，i.e.，混乱的方向演化的。越混乱的场景熵越大，熵是与不确定性正相关的。信息论中，熵反映了信息中包含的信息量的多少，越不确定的事件（概率 越小）包含的信息量越大：。于是，有

1.1 熵Entropy

假设事件 共有 种可能，发生 的概率为 ，那么事件 的熵定义为：

聪明的读者不难发现，熵就是事件 的信息量的期望，以概率 对事件的所有可能性加权的和。

1.2 条件熵Conditional Entropy

对于两个事件 ，条件熵是已知一个事件（如 ）时另一个事件（如 ）剩余的信息量：

由条件概率和联合概率的关系 ，于是：

1.3 联合熵Joint Entropy

联合概率 对应的联合事件的熵：

当事件， 独立时，由 知：

1.4 互信息Mutual Information

事件 重合部分的信息量， 的 intersection，定义为：

关系辩解

四者的关系见上图，即：

• 条件熵+互信息=熵（CE + MI = E）

• 熵+条件熵=联合熵（CE1 + CE2 + MI = EI + CE2 = JE）

差异度量（KL+）

信息熵可以衡量已知一个事件后另一个事件中未知的信息量，未知的信息量越少则两个事件重合度越高，从而，信息熵可以拓展到度量两个分布的距离/差异。

2.1 交叉熵Cross Entropy

回顾1.1中，熵是事件 的信息量的期望，即对事件的所有可能性加权和。假设事件 有真实分布 预测分布 ，

交叉熵的“交叉”体现在用真实分布概率 加权预测分布的信息量 ：

2.2 KL散度Kullback-Leibler Divergence（相对熵Relative Entropy）

相对熵的关键在于“相对”，“相对”体现在真实分布与预测分布的概率之比 ，以真实分布概率加权，（前向）KL 散度定义为：

对上式进行变换，可知

也即：KL散度 = 交叉熵 - 熵

显然，KL 散度不满足对称性，也不满足三角不等式，所以KL散度并不是距离。

✔ 值得注意的是：

在实际应用场景中，真实分布是确定的，故 H(p) 是常数，所以 KL 散度与交叉熵仅相差一个常数，从而，在分类任务中，评估预测分布与真实分布的差异可以用交叉熵损失度量。这就是有监督多分类任务一般用交叉熵损失而不用 KL 散度作为目标函数优化的原因。

• 相对熵的一些理解：

由 可知，当 预测分布 与真实分布 完全一致时 KL 散度为 0，预测越逼近真实分布则 KL 散度越小。

又由加权系数 可知 KL 散度着重在真实分布中概率大的地方让预测逼近， 极端情况下 处预测分布与真实分布的差异大小不予考虑。如图例，着重让预测 在两峰逼近 ，而忽略谷点：

• KL 散度 与互信息 的关系：

当 时，也即 为联合分布且 为边缘分布的乘积时，

2.3 JS散度Jensen-Shannon Divergence

正由于 KL 散度的非对称性使之不能作为距离，JS 散度作为 KL 散度的一种变体，解决了非对称问题，定义为：

其它

Wasserstein距离

差异/距离度量除了上面介绍的与信息熵有关的 notions 外，目前很火的是 p-Wasserstein 距离（由最优传输 Optimal Transport 得来）， p-Wasserstein 距离的显著优点在于它可以比较两个完全没有 intersection 的分布 ，这是 KL 散度等不具备的。p-Wasserstein 距离已经在 WGAN 等工作中被广泛使用。

⌈最优传输OT和p-Wasserstein距离的简介⌋见笔者文章：

https://zhuanlan.zhihu.com/p/551134022

⌈最优传输的Python应用实现⌋见笔者文章：

https://zhuanlan.zhihu.com/p/573158960

参考文献

[1] KL散度衡量的是两个概率分布的距离吗？

https://www.zhihu.com/question/345907033/answer/2200649796

[2] 工具人66号：进阶详解KL散度

https://zhuanlan.zhihu.com/p/372835186

[3] KevinCK：交叉熵、相对熵（KL散度）、JS散度和Wasserstein距离（推土机距离）

https://zhuanlan.zhihu.com/p/74075915

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