修订版【面积和斜率有什么联系？】- 微积分的本质 09_01

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修订版【面积和斜率有什么联系？】- 微积分的本质 09_01

2017 年 7 月 20 日 遇见数学 3Blue1Brown

来自 3Blue1Brown 《微积分的本质》视频: https://space.bilibili.com/88461692

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[遇见数学]根据视频内容整理文字版, 方便各位同学学习, 先来看下视频吧.

正文

今天我想要讨论一类要用到积分的常见问题:求一个连续变量的平均值. 这类问题本身就具有实际用途, 而且也从另一个不同的视角告诉我们, 为什么积分和求导是互逆的一种运算？让我们以 sin(x) 在 0 到 π 之间的半个周期为例.

请问在这个区间内图像的平均高度是多少？这不是一个没有意义的问题。世界上种种周期现象都可以用正弦曲线来描述. 比如每天的日照时间, 就是一个对应着日期的正弦函数(请查看《吃了冬至饭一天长一线》).

所以如果你想要预测太阳能电池板在夏天和冬天的平均效率的差别, 那么，你就需要回答如下问题. 正弦函数在半个周期上的平均值是多少？

在上述现实的例子中，各种系数和常数会让情况更加复杂. 所以我们仅先关注单纯的正弦函数, 不过计算的方法在其他情况中都是一样的.

一个连续变量的平均值，这听起来有点奇怪. 通常在提到平均值的概念时, 我们首先想到的是有限个变量, 用其总和除以数量的方法得到均值.

但是 sin(x) 在 0 到 π 之间有无数个值, 我们并不能把无数个值加起来，再除以无穷大.

实际上在数学中常常会有这种感觉, 你隐约觉得应该把连续区间上无数多个值加起来, 虽然你并不能真的这么做. 通常当你产生这种直觉时, 积分便是解决问题的核心.

通过计算有限数值的和来估算答案是一个不错的开始, 在正弦函数中, 假设区有限个点均匀分配在区间上. 因为点的数量是有限的，所以你可以把它们的高度 sin(x) 加起来, 然后再除以点的数量得到平均值.

假如无数个点的平均值是有意义的话, 那我们取越多的点来计算高度的和, 计算出的平均值就应该越接近连续变量实际的平均值.

你应该至少觉得这与 sin(x) 在 0 到 π 之间的积分有点联系. 虽然一开始你可能不清楚具体的联系是什么.

回忆一下对于 sin(x) 函数的积分，你也会考虑在函数上取一些点. 但我们不是各个点的高度加起来，然后除以点的个数.

而是将 sin(x)*dx 加总起来(dx 是点间的距离). 也就是说加起来很多个小矩形的面积，而不是指的高度. 准确而言，积分并不完全是这些面积的总和. 而是当 dx 逼近 0 时候, 小矩形面积总和的极限.

但借助计算有限个长方形的面积总和的方法, 我们可以更好的理解积分. 现在我们可以重新把平均值的这个表达式, 即这点高度的总和除以点的数量用点间的距离 dx 来表达出来.

如果点间的距离是 0.1，而且你知道定义域是从 0 到 π. 你能计算出一共有多少个点吗？你可以用这段区间的长度 π 除以间距的长度. 如果结果不是整数，你可以取整. 这样带来的误差是可以接受的.

所以如果我们将两点间的距离记为 dx, 点数量就是 $\frac{π}{dx}$ . 将表达式中的分母替换为 $\frac{π}{dx}$ , 并将 dx 挪到分子中.

想一想把 dx 挪到分子上面的意义, 这就意味着把形如 sin(x)*dx 的项加了起来，对应着不同 x 的值. 于是，分子看上去就是积分的表达式.

随着取得点数量的增加, 求出的平均值就越来越接近 sin(x) 从 0 到 π 的积分, 除以区间的长度 π.

换句话说图像的平均高度就是区域的面积除以宽度.

现在让我们实际计算一下这个表达式. 上个视频中我们讲到想要计算积分, 就需要求函数的原函数. 那么什么函数的导数是 sin(x) .

如果你对三角函数足够熟悉的话，你就会想到 cos(x) 的导数是 -sin(x). 再加上一个符号, 那么 -cos(x) 就是 sin(x) 的原函数.

为了防止出错，我们来看一眼 -cos(x) 的图像, 在 x=0 处斜率是 0 , 接着斜率不断变大, 在 $\frac{π}{2}$ 处取到最大值. 然后在 π 处斜率又变回 0 .

整体来看 -cos(x) 的斜率处处都和 sin(x) 相等. 那怎么计算 sin(x) 从 0 到 π 之间的积分呢? 我们要用原函数在上界的值减去在下界的值. 更直观的来看，这就是 -cos(x) 得图像在 π 处和 0 处的高度差. 如下图所示, 高度差恰好是 2.

我们所求的正弦函数下方的面积刚好就是 2. 所以我们所求的平均高度, 即定积分的值除以区间的宽度, 就是 $\frac{2}{π}$ , 大约就是 0.64.

问题的，最开始我曾说过函数的平均值，提供了另一种角度. 去看待为何积分和求导是互逆的运算. 为何一个函数图像下的面积与另一个函数的斜率有关.

请注意求平均值 $\frac{2}{π}$ 归根到底就是原函数 -cos(x) 在区间上取值的变化除以区间的长度.

另一种思考方式是将这个分式看作原函数 x=0 处和 x=π 处两点连线的斜率.

现在你可以开始思考, 为什么这个斜率代表 sin(x) 在 0 到 π 之间的平均值了？根据定义 sin(x) 是原函数 -cos(x) 的导数. 它给出了 -cos(x) 在每个点上的斜率. 所以 sin(x) 的平均值就是原函数从 x=0 到 x=π 所有切线斜率的平均值.

从这个角度考虑, 在某一区间上所有切线的平均斜率, 不就应该等于起点和终点连线的斜率吗？

为了更好的消化这一概念，让我们看看任意的一个函数. 对于任意函数 f(x), 如果想求出它在某一区间的平均值，比如从 a 到 b. 你就要求出 f 在区间上的定积分，然后除以区间的宽度 b - a. 你可以把这个想象成图像下区域的面积除以宽度. 更准确的说，这个面积是有正负之分的，在 x 轴下面的面积计算负数.

现在请思考一下这个面积与有限个数值的平均值, 也就是有限个数的和除以它们的个数有什么联系？

当我们取一系列间距是 dx 的点时, 点的数量是区间长度除以 dx. 所以如果把这些点的 f(x) 加起来，然后除以点的数量, 结果就等于把 f(x)*dx 加起来再除以整个区间的长度.