We present strongly convergent explicit and semi-implicit adaptive numerical schemes for systems of stiff stochastic differential equations (SDEs) where both the drift and diffusion are non-globally Lipschitz continuous. This stiffness may originate either from a linear operator in the drift, or from a perturbation of the nonlinear structures under discretisation, or both. Typical applications arise from the space discretisation of an SPDE, stochastic volatility models in finance, or certain ecological models. We prove that a timetepping strategy that adapts the stepsize based on the drift alone is sufficient to control growth and to obtain strong convergence with polynomial order. The order of strong convergence of our scheme is $(1-\varepsilon)/2$, for $\varepsilon\in(0,1)$, where $\varepsilon$ becomes arbitrarily small as the number of available finite moments for solutions of the SDE increases. Numerically, we compare the adaptive semi-implicit method to a fully drift implicit method, three tamed type methods and a truncated method. Our numerical results show that the adaptive semi-implicit method is well suited as a general purpose solver, is more robust than the explicit time stepping methods and more efficient than the drift implicit method.


翻译:我们为僵硬的随机差异方程式系统(SDEs)提出了高度一致的、明确的和半隐含的适应性数字计划,在这些系统中,漂移和扩散都是非全球性的Lipschitz 连续的。这种僵硬性可能来自漂移中的线性操作员,或来自离散下非线性结构的扰动,或两者兼而有之。典型的应用产生于SPDE的空间离散、金融中随机波动模型或某些生态模型。我们证明,单凭漂移来调整步骤的定时战略足以控制增长,并与多边秩序取得强烈的趋同。我们计划的强烈趋同顺序的顺序是1美元(1美元)/2美元(1美元),美元(1美元)随着SDE解决方案的可用有限时间数的增加而变得任意地很小。我们把适应性半隐蔽方法与完全流出隐含的方法、三种图解型方法以及三角法方法相比较。我们的数字结果显示,一个比精准的精确的移动方法更能性,一个比普通的精确的移动方法更精确、更精确的精确的方法更适合。

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