Grid-free Monte Carlo methods based on the \emph{walk on spheres (WoS)} algorithm solve fundamental partial differential equations (PDEs) like the Poisson equation without discretizing the problem domain, nor approximating functions in a finite basis. Such methods hence avoid aliasing in the solution, and evade the many challenges of mesh generation. Yet for problems with complex geometry, practical grid-free methods have been largely limited to basic Dirichlet boundary conditions. This paper introduces the \emph{walk on stars (WoSt)} method, which solves linear elliptic PDEs with arbitrary mixed Neumann and Dirichlet boundary conditions. The key insight is that one can efficiently simulate reflecting Brownian motion (which models Neumann conditions) by replacing the balls used by WoS with \emph{star-shaped} domains; we identify such domains by locating the closest visible point on the geometric silhouette. Overall, WoSt retains many attractive features of other grid-free Monte Carlo methods, such as progressive evaluation, trivial parallel implementation, and logarithmic scaling relative to geometric complexity.


翻译:基于 emph{ 走在球体上 (WoS) 的无网格蒙特卡洛 方法基于 emph{ 走在球体上 (WoS) 的算法解决了基本部分差异方程式(PDEs), 比如Poisson 方程式, 而不将问题域分解, 也不在有限的基础上接近功能 。 这种方法避免了在解决方案中别名, 并避免了网状一代的诸多挑战 。 但是对于复杂的几何学问题, 实用的无网格方法基本上局限于 diriclet 边界条件 。 本文介绍了 \ emph{ 走在恒星上 (WoSt) 的算法, 这种方法用任意混合的 Neumann 和 Dirichlet 边界条件解决了线性椭圆形 PDEs 。 关键的观点是, 一种能够有效地模拟布朗运动( 以 Neumann 条件为模型) 的方法,, 以 取代 WOS 的球 以\emph{ star- masult} 区域 来取代 。 我们通过将最接近可见的点定位来识别这些区域 。 来识别这些区域 。 。 。 。 总之, WoStot 保留了其他无网格方法的许多有吸引力特征 。 例如评估、 和 相对于 和logalbalphiscaltictical 缩缩缩缩 。</s>

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