We introduce and analyze an $hp$-version $C^1$-continuous Petrov-Galerkin (CPG) method for nonlinear initial value problems of second-order ordinary differential equations. We derive a-priori error estimates in the $L^2$-, $L^\infty$-, $H^1$- and $H^2$-norms that are completely explicit in the local time steps and local approximation degrees. Moreover, we show that the $hp$-version $C^1$-CPG method superconverges at the nodal points of the time partition with regard to the time steps and approximation degrees. As an application, we apply the $hp$-version $C^1$-CPG method to time discretization of nonlinear wave equations. Several numerical examples are presented to verify the theoretical results.


翻译:基于 $hp$ 版本 $C^1$ 连续性 Petrov-Galerkin 方法求解非线性二阶初值问题及其在波动方程中的应用 Translated abstract: 我们引入并分析了一种基于 $hp$ 版本 $C^1$ 连续性 Petrov-Galerkin (CPG) 方法,用于求解二阶非线性常微分方程的初始值问题。我们导出了 $L^2$、$L^\infty$、$H^1$ 和 $H^2$ 范数下关于时间和局部逼近度的 $a$-先验误差估计,所得的误差估计完全是显式的。此外,我们证明了 $hp$ 版本 $C^1$-CPG 方法在时间划分的节点处,具有针对时间步长和逼近度的节点超收敛性。作为应用的例子,我们将 $hp$ 版本 $C^1$-CPG 方法应用于非线性波动方程的时间离散化中。我们还提供了几个数值实验来验证理论结果。

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