A set $Q$ in $\mathbb{Z}_+^d$ is a lower set if $(k_1,\dots,k_d)\in Q$ implies $(l_1,\dots,l_d)\in Q$ whenever $0\le l_i\le k_i$ for all $i$. We derive new and refine known results regarding the cardinality of the lower sets of size $n$ in $\mathbb{Z}_+^d$. Next we apply these results for universal discretization of the $L_2$-norm of elements from $n$-dimensional subspaces of trigonometric polynomials generated by lower sets.
翻译：$\ mathbb ⁇ d$ 的一套 $Q$ 以 $\ mathb ⁇ d$ 为单位, 如果$( k_ 1,\ dots, k_d)\ 以 Q$ 表示$( l_ 1,\ dots, l_d)\ 以 Q$$, 则以美元计, 以美元计, 以美元计, 美元计, 以美元计, 以美元计, 美元计, 以美元计, 美元计, 以美元计, 美元计, 以美元计, 美元计, 以美元计, 美元计, 以美元计, 美元计, 以美元计, 美元计, 以美元计, 美元计, 以 美元计, 美元计, 以 美元计, 美元计, 以 美元计, 美元计, 则以 美元计, 以 美元计, 以 美元计, 以 美元计, 以 美元计, 以 美元计, 美元计, 以 以 美元计, 以 美元计, 以 以 美元计, 美元计, 以 美元计, 以 以 以 美元计, 美元计, 美元计, 美元计, 以 美元计, 以 美元计,, 以 以 美元计, 美元计, 以 美元计, 以 美元计, 以 以 美元计, 美元计, 以,, 美元,,,, 以 美元 美元 以 以 以 美元计, 美元计, 以 以 以,,,,,,,, 以, 以 以 以 以 以,,,, 以 以,,,,,,,, 美元计, 以 以 以 以, 以 以 美元计, 美元计, 以 美元计, 美元计, 美元计, 以 美元计,,, 以 以 以 以 以
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