Given integers $k\geq 2$ and $a_1,\ldots,a_k\geq 1$, let $\boldsymbol{a}:=(a_1,\ldots,a_k)$ and $n:=a_1+\cdots+a_k$. An $\boldsymbol{a}$-multiset permutation is a string of length $n$ that contains exactly $a_i$ symbols $i$ for each $i=1,\ldots,k$. In this work we consider the problem of exhaustively generating all $\boldsymbol{a}$-multiset permutations by star transpositions, i.e., in each step, the first entry of the string is transposed with any other entry distinct from the first one. This is a far-ranging generalization of several known results. For example, it is known that permutations ($a_1=\cdots=a_k=1$) can be generated by star transpositions, while combinations ($k=2$) can be generated by these operations if and only if they are balanced ($a_1=a_2$), with the positive case following from the middle levels theorem. To understand the problem in general, we introduce a parameter $\Delta(\boldsymbol{a}):=n-2\max\{a_1,\ldots,a_k\}$ that allows us to distinguish three different regimes for this problem. We show that if $\Delta(\boldsymbol{a})<0$, then a star transposition Gray code for $\boldsymbol{a}$-multiset permutations does not exist. We also construct such Gray codes for the case $\Delta(\boldsymbol{a})>0$, assuming that they exist for the case $\Delta(\boldsymbol{a})=0$. For the case $\Delta(\boldsymbol{a})=0$ we present some partial positive results. Our proofs establish Hamilton-connectedness or Hamilton-laceability of the underlying flip graphs, and they answer several cases of a recent conjecture of Shen and Williams. In particular, we prove that the middle levels graph is Hamilton-laceable.


翻译:鉴于整数 $k\geq 2 美元和 $1,\\\ ldots, a_k\ getq 1 美元, 让我们来考虑 $BoldSymbol{ a} : = (a_ 1,\ldot, a_k) 美元和 $: a_ 1\\\cdq 2美元。 $BoldSylsol{a} 美元和 $1, a_k\held=1, a_kgeq美元, 美元 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 立方, 一個子, 一個子, 一個子, 存在。 例如. 。 。 。 。 。 。 例如, 。 。 。 。 问题 问题是 。 。 。 。

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