Structural graph parameters, such as treewidth, pathwidth, and clique-width, are a central topic of study in parameterized complexity. A main aim of research in this area is to understand the "price of generality" of these widths: as we transition from more restrictive to more general notions, which are the problems that see their complexity status deteriorate from fixed-parameter tractable to intractable? This type of question is by now very well-studied, but, somewhat strikingly, the algorithmic frontier between the two (arguably) most central width notions, treewidth and pathwidth, is still not understood: currently, no natural graph problem is known to be W-hard for one but FPT for the other. Indeed, a surprising development of the last few years has been the observation that for many of the most paradigmatic problems, their complexities for the two parameters actually coincide exactly, despite the fact that treewidth is a much more general parameter. It would thus appear that the extra generality of treewidth over pathwidth often comes "for free". Our main contribution in this paper is to uncover the first natural example where this generality comes with a high price. We consider Grundy Coloring, a variation of coloring where one seeks to calculate the worst possible coloring that could be assigned to a graph by a greedy First-Fit algorithm. We show that this well-studied problem is FPT parameterized by pathwidth; however, it becomes significantly harder (W[1]-hard) when parameterized by treewidth. Furthermore, we show that Grundy Coloring makes a second complexity jump for more general widths, as it becomes para-NP-hard for clique-width. Hence, Grundy Coloring nicely captures the complexity trade-offs between the three most well-studied parameters. Completing the picture, we show that Grundy Coloring is FPT parameterized by modular-width.


翻译:结构图的参数, 如树枝、 路径、 球形- 曲线等, 是参数化复杂度研究的中心主题。 这一领域的研究的一个主要目的是理解这些宽度的“ 通用价格 ” : 当我们从更具限制性的概念向更普遍的概念过渡时, 这些问题是, 其复杂性从固定参数可移动到难以处理? 这种类型的问题现在研究得非常周全, 但是, 有点惊人的是, 两种( 令人吃惊的) 最中央宽度概念、 树枝和 路径变色的参数之间的算法边际仍然无法理解 : 目前, 没有哪个自然图的问题为W- 硬度, 而另一个为FPT 。 事实上, 过去几年的一个令人惊讶的发展是, 观察到它们的复杂性状态从固定参数到两个参数的复杂度, 尽管树枝节化是一个更普通的参数。 因此, 我们的直线化趋势- 直线( 直线- 直线- 直线- 直径多为“ 自由 ” 。 然而, 自然图问题并不为人所知, 我们的主要数字化 显示一个高的颜色- 直径 直径化 直径 直径 直到直径 直至直方 直径 。

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