Squares (fragments of the form $xx$, for some string $x$) are arguably the most natural type of repetition in strings. The basic algorithmic question concerning squares is to check if a given string of length $n$ is square-free, that is, does not contain a fragment of such form. Main and Lorentz [J. Algorithms 1984] designed an $\mathcal{O}(n\log n)$ time algorithm for this problem, and proved a matching lower bound assuming the so-called general alphabet, meaning that the algorithm is only allowed to check if two characters are equal. However, their lower bound also assumes that there are $\Omega(n)$ distinct symbols in the string. As an open question, they asked if there is a faster algorithm if one restricts the size of the alphabet. Crochemore [Theor. Comput. Sci. 1986] designed a linear-time algorithm for constant-size alphabets, and combined with more recent results his approach in fact implies such an algorithm for linearly-sortable alphabets. Very recently, Ellert and Fischer [ICALP 2021] significantly relaxed this assumption by designing a linear-time algorithm for general ordered alphabets, that is, assuming a linear order on the characters that permits constant time order comparisons. However, the open question of Main and Lorentz from 1984 remained unresolved for general (unordered) alphabets. In this paper, we show that testing square-freeness of a length-$n$ string over general alphabet of size $\sigma$ can be done with $\mathcal{O}(n\log \sigma)$ comparisons, and cannot be done with $o(n\log \sigma)$ comparisons. We complement this result with an $\mathcal{O}(n\log \sigma)$ time algorithm in the Word RAM model. Finally, we extend the algorithm to reporting all the runs (maximal repetitions) in the same complexity.


翻译:方块( 以xxx美元为单位, 以某种字符串为单位, 以xxxxxxxxxxxxxxxxxx) 可能是最自然的重复类型。 有关方块的基本算法问题在于检查给定的长度为$n美元, 也就是说, 不包含这种形式的碎片。 Main 和Lorentz [J. Algorithms 1984] 设计了一个 $\ mathcalcal{O} (n\log nn n) 的时间算法, 并证明假设所谓的普通正方位正方位, 也就是说, 只有在两个字符相等的情况下, 算法才允许检查。 然而, 它们的更低法问题在于检查字符串中是否有美元长度为美元, 也就是说, 当一个人限制字母大小时, orchemor [Theor. comput. Sci.] 设计了一个直线度算算算法, 和最近的结果是, 我们的直线式字母字母的算算算算算算法, 最近, 直线性算算算算算算算算算算算, 直数为美元。</s>

0
下载
关闭预览

相关内容

Alphabet is mostly a collection of companies. This newer Google is a bit slimmed down, with the companies that are pretty far afield of our main internet products contained in Alphabet instead.
abc.xyz/
不可错过!《机器学习100讲》课程,UBC Mark Schmidt讲授
专知会员服务
73+阅读 · 2022年6月28日
强化学习最新教程,17页pdf
专知会员服务
174+阅读 · 2019年10月11日
[综述]深度学习下的场景文本检测与识别
专知会员服务
77+阅读 · 2019年10月10日
机器学习入门的经验与建议
专知会员服务
92+阅读 · 2019年10月10日
【哈佛大学商学院课程Fall 2019】机器学习可解释性
专知会员服务
103+阅读 · 2019年10月9日
VCIP 2022 Call for Demos
CCF多媒体专委会
1+阅读 · 2022年6月6日
Hierarchically Structured Meta-learning
CreateAMind
26+阅读 · 2019年5月22日
Transferring Knowledge across Learning Processes
CreateAMind
27+阅读 · 2019年5月18日
强化学习的Unsupervised Meta-Learning
CreateAMind
17+阅读 · 2019年1月7日
Unsupervised Learning via Meta-Learning
CreateAMind
42+阅读 · 2019年1月3日
A Technical Overview of AI & ML in 2018 & Trends for 2019
待字闺中
16+阅读 · 2018年12月24日
ResNet, AlexNet, VGG, Inception:各种卷积网络架构的理解
全球人工智能
19+阅读 · 2017年12月17日
【推荐】用Python/OpenCV实现增强现实
机器学习研究会
15+阅读 · 2017年11月16日
【论文】变分推断(Variational inference)的总结
机器学习研究会
39+阅读 · 2017年11月16日
国家自然科学基金
0+阅读 · 2014年12月31日
国家自然科学基金
0+阅读 · 2014年12月31日
国家自然科学基金
1+阅读 · 2013年12月31日
国家自然科学基金
0+阅读 · 2013年12月31日
国家自然科学基金
1+阅读 · 2013年12月31日
国家自然科学基金
0+阅读 · 2012年12月31日
国家自然科学基金
0+阅读 · 2012年12月31日
国家自然科学基金
0+阅读 · 2012年12月31日
Arxiv
0+阅读 · 2023年5月4日
Arxiv
1+阅读 · 2023年5月3日
Arxiv
0+阅读 · 2023年5月3日
Arxiv
0+阅读 · 2023年5月3日
Arxiv
0+阅读 · 2023年5月2日
VIP会员
相关VIP内容
不可错过!《机器学习100讲》课程,UBC Mark Schmidt讲授
专知会员服务
73+阅读 · 2022年6月28日
强化学习最新教程,17页pdf
专知会员服务
174+阅读 · 2019年10月11日
[综述]深度学习下的场景文本检测与识别
专知会员服务
77+阅读 · 2019年10月10日
机器学习入门的经验与建议
专知会员服务
92+阅读 · 2019年10月10日
【哈佛大学商学院课程Fall 2019】机器学习可解释性
专知会员服务
103+阅读 · 2019年10月9日
相关资讯
VCIP 2022 Call for Demos
CCF多媒体专委会
1+阅读 · 2022年6月6日
Hierarchically Structured Meta-learning
CreateAMind
26+阅读 · 2019年5月22日
Transferring Knowledge across Learning Processes
CreateAMind
27+阅读 · 2019年5月18日
强化学习的Unsupervised Meta-Learning
CreateAMind
17+阅读 · 2019年1月7日
Unsupervised Learning via Meta-Learning
CreateAMind
42+阅读 · 2019年1月3日
A Technical Overview of AI & ML in 2018 & Trends for 2019
待字闺中
16+阅读 · 2018年12月24日
ResNet, AlexNet, VGG, Inception:各种卷积网络架构的理解
全球人工智能
19+阅读 · 2017年12月17日
【推荐】用Python/OpenCV实现增强现实
机器学习研究会
15+阅读 · 2017年11月16日
【论文】变分推断(Variational inference)的总结
机器学习研究会
39+阅读 · 2017年11月16日
相关基金
国家自然科学基金
0+阅读 · 2014年12月31日
国家自然科学基金
0+阅读 · 2014年12月31日
国家自然科学基金
1+阅读 · 2013年12月31日
国家自然科学基金
0+阅读 · 2013年12月31日
国家自然科学基金
1+阅读 · 2013年12月31日
国家自然科学基金
0+阅读 · 2012年12月31日
国家自然科学基金
0+阅读 · 2012年12月31日
国家自然科学基金
0+阅读 · 2012年12月31日
Top
微信扫码咨询专知VIP会员