In this article, we consider the manifold learning problem when the data set is invariant under the action of a compact Lie group $K$. Our approach consists in augmenting the data-induced graph Laplacian by integrating over orbits under the action of $K$ of the existing data points. We prove that this $K$-invariant Laplacian operator $L$ can be diagonalized by using the unitary irreducible representation matrices of $K$, and we provide an explicit formula for computing the eigenvalues and eigenvectors of $L$. Moreover, we show that the normalized Laplacian operator $L_N$ converges to the Laplace-Beltrami operator of the data manifold with an improved convergence rate, where the improvement grows with the dimension of the symmetry group $K$. This work extends the steerable graph Laplacian framework of Landa and Shkolnisky from the case of $\operatorname{SO}(2)$ to arbitrary compact Lie groups.
翻译:扩散地图用于群不变流形
翻译后的摘要:
本文考虑当数据集在紧致李群 $K$ 的作用下是不变的时的流形学习问题。我们的方法在现有数据点的 $K$ 作用下的轨道之上,通过积分增加数据诱导的图拉普拉斯算子。我们证明这个 $K$-不变的拉普拉斯算子 $L$ 可以通过使用 $K$ 的幺正不可约表示矩阵来对角化,同时提供了计算 $L$ 的特征值和特征向量的显式公式。此外,我们表明,归一化的拉普拉斯算子 $L_N$ 收敛于数据流形的拉普拉斯 - 贝尔特拉米算子,其收敛速度得到了改善,改善随着对称群 $K$ 的维数增加而增长。这项工作将 Landa 和 Shkolnisky 的可控图拉普拉斯框架从 $\operatorname{SO}(2)$ 案例扩展到了任意紧致李群case。