Bertolini-Darmon and Mok proved a formula of the second derivative of the two-variable $p$-adic $L$-function of a modular elliptic curve over a totally real field along the Hida family in terms of the image of a global point by some $p$-adic logarithm map. The theory of $p$-adic indefinite integrals and $p$-adic multiplicative integrals on $p$-adic upper half planes plays an important role in their work. In this paper, we generalize these integrals for $p$-adic measures which are not necessarily $\mathbf{Z}$-valued, and prove a formula of the second derivative of the two-variable $p$-adic $L$-function of an abelian variety of ${\rm GL}(2)$-type associated to a Hilbert modular form of weight 2.


翻译:Bertolini-Darmon 和 Mok 证明了两种可变的美元-美元-美元-美元-美元-美元-美元-美元-美元-美元-美元-美元-美元-莫克的第二种衍生物的公式。在本文中,我们将这些组合体-美元-美元-美元-美元-美元-美元-美元-美元-美元-美元-美元-美元-美元-美元-美元-美元-美元-美元-在希达家族一带一个完全真实的场面上的模块式椭圆曲线功能的公式,用约P美元-美元-adic对对数图的图象,用约美元-美元-美元对数对数的对数图。 美元-美元-美元-adic 的无限组合体($-美元-美元-美元-美元-美元-美元-美元-美元-美元-美元-美元-美元-美元-美元-美元-美元-美元-美元-美元/美元-美元-美元-美元-美元-美元-美元-美元-美元-美元-美元-美元-美元-美元-美元-美元-美元-美元-美元-美元-美元-美元-美元-美元-美元-美元-美元-美元-美元-美元-美元-美元-美元-美元-美元-美元-美元-美元-美元-和美元-美元-美元-美元-美元-美元-美元-美元-美元-美元-美元-美元-美元-美元-美元-美元-美元-美元-美元-美元-美元-美元-美元-美元-美元-美元-美元-美元-美元-美元-美元-美元-美元-美元-美元-美元-美元-美元-美元-双重重重制-重量-重量-重量-重量-重量-重量-重量-重量-重量-的组合形式-的组合形式)-的组合形式)-的组合形式的计算-重量形式的计算-的组合形式)-的理论形式的计算-形式的计算-的理论形式的计算-的理论形式,在其工作中,在其工作工作工作中发挥了重要作用中起着形式的计算中起着-

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