We analyze the well posedness of certain field-only boundary integral equations (BIE) for frequency domain electromagnetic scattering from perfectly conducting spheres. Starting from the observations that (1) the three components of the scattered electric field $\mathbf{E}^s(\mathbf{x})$ and (2) scalar quantity $\mathbf{E}^s(\mathbf{x})\cdot\mathbf{x}$ are radiative solutions of the Helmholtz equation, novel boundary integral equation formulations of electromagnetic scattering from perfectly conducting obstacles can be derived using Green's identities applied to the aforementioned quantities and the boundary conditions on the surface of the scatterer. The unknowns of these formulations are the normal derivatives of the three components of the scattered electric field and the normal component of the scattered electric field on the surface of the scatterer, and thus these formulations are referred to as field-only BIE. In this paper we use the Combined Field methodology of Burton and Miller within the field-only BIE approach and we derive new boundary integral formulations that feature only Helmholtz boundary integral operators, which we subsequently show to be well posed for all positive frequencies in the case of spherical scatterers. Relying on the spectral properties of Helmholtz boundary integral operators in spherical geometries, we show that the combined field-only boundary integral operators are diagonalizable in the case of spherical geometries and their eigenvalues are non zero for all frequencies. Furthermore, we show that for spherical geometries one of the field-only integral formulations considered in this paper exhibits eigenvalues clustering at one -- a property similar to second kind integral equations.


翻译:本文分析了某些仅涉及场的边界积分方程(BIE)在完美导体球体频域电磁散射中的良好性。从以下两点出发:(1)散射电场$\mathbf{E}^s(\mathbf{x})$的三个分量和(2)标量量$\mathbf{E}^s(\mathbf{x}) \cdot \mathbf{x}$是亥姆霍兹方程的辐射解。应用格林恩公式和散射体边界条件,可以推导出完全导体障碍物中电磁散射的新的边界积分方程。这些方程的未知量是三个分量的散场的法向导数和散场的法向分量,因此称为仅场BIE。本文采用了Burton和Miller的联合场方法,应用纯亥姆霍兹边界积分算子从仅涉及场的BIE法求解电磁散射问题。本文的新贡献是在球形障碍物情况下推导了仅涉及场的边界积分算子,证明了对于球形散射体,这些方程在所有正频率下都是良好的。利用球形亥姆霍兹边界积分算子的谱性质,我们展示了联合仅场边界积分算子在球形几何中是可对角化的,且其特征值在所有频率下都是非零的。此外,我们还证明了在球形几何中,本文中考虑的仅涉及场的积分公式之一具有类似第二类积分方程的特征值聚集在一起的属性。

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