We present new scalar and matrix Chernoff-style concentration bounds for a broad class of probability distributions over the binary hypercube $\{0,1\}^n$. Motivated by recent tools developed for the study of mixing times of Markov chains on discrete distributions, we say that a distribution is $\ell_\infty$-independent when the infinity norm of its influence matrix $\mathcal{I}$ is bounded by a constant. We show that any distribution which is $\ell_\infty$-independent satisfies a matrix Chernoff bound that matches the matrix Chernoff bound for independent random variables due to Tropp. Our matrix Chernoff bound is a broad generalization and strengthening of the matrix Chernoff bound of Kyng and Song (FOCS'18). Using our bound, we can conclude as a corollary that a union of $O(\log|V|)$ random spanning trees gives a spectral graph sparsifier of a graph with $|V|$ vertices with high probability, matching results for independent edge sampling, and matching lower bounds from Kyng and Song.
翻译:我们展示了在二进制超立方0.1美元上广泛概率分布的新的星际和矩阵Chernoff型浓度值。受最近开发的工具的激励,用于研究离散分布的Markov链混合时间,我们说,当其影响矩阵的无限标准 $\mathcal{I} 受一个常数的约束时,分配是独立的。我们显示,任何以美元为单位的分布都符合Chernoff 矩阵,该矩阵与Tropp的独立的随机变量相匹配。我们的Chernoff矩阵是广泛概括,并加强了Kyng和Song的Chernoff矩阵(FOCS'18)。我们用我们的界限可以得出一个推论,即由$(logcal) 美元随机覆盖的树木组成的一个总和,以美元为单位,以高概率为单位,以美元为单位,以美元为单位,以美元为单位,以美元为单位,以美元为单位,以美元为单位,以美元为单位,以美元为单位,以美元为单位,以美元为底为单位,以美元为单位,以美元为单位,以美元为底为单位,以美元为单位,以美元为底为单位为单位为单位,以美元为单位为单位,以美元为单位,以美元为单位,以美元为单位为单位,以美元为单位,以美元为单位,以美元为单位,以美元为单位为单位,以美元为单位,以美元为单位,以美元为单位,以美元为单位,以美元为单位,以美元为单位,以美元为单位,以美元为单位以美元为单位,以美元为单位,以美元为单位,以美元为单位,以美元为单位,以美元为单位,以美元为单位,以美元为单位,以美元为单位,以美元为单位,以美元为单位以美元为单位,以美元为单位,以美元为,以美元为,以美元为单位,以美元为单位,以美元为单位,以美元为单位,以美元为,以美元为单位,以美元为单位,以美元为单位,以美元为单位,以美元为单位,以美元为单位,以美元为单位,以美元为单位,以美元为单位,以美元为单位,以美元为单位,以美元为单位