赠书 | 最折磨人的数学未解之谜 - 思考的乐趣

2018 年 9 月 29 日 遇见数学

生日快乐，我的国

庆祝国庆 [遇见数学]、[遇见数学视频讲堂] 联合图灵新知为大家准备了 9 种精彩的数学书籍, 正式活动在[遇见数学]举行从 9.29 日至 10.7 日共 9 天, 每天赠书不停, 将好书送与陪伴着 [遇见数学] 的朋友们!

9.29 赠书

生活中的数学、数学之美、几何的大厦、精妙的证明、思维的尺度

“事实上顾森的每篇文章都在向读者展示数学确实好玩。数学好玩这个命题不仅对懂得数学奥妙的数学大师成立，对于广大数学爱好者同样成立。”

——汤涛，《数学文化》期刊联合主编，香港浸会大学数学讲座教授

数学之美不但体现在漂亮的结论和精妙的证明上，那些尚未解决的数学问题也有让人神魂颠倒的魅力。和哥德巴赫猜想、黎曼假设不同，有些悬而未解的问题趣味性很强，“数学性”却非常弱，乍看上去并没有触及深刻的数学理论，似乎是一道可以被瞬间秒杀的数学趣题，让数学爱好者们“不找到一个巧解就不爽”；但令人称奇的是，它们的困难程度却不亚于那些著名的数学猜想，这或许比各个领域中艰深的数学难题更折磨人吧。

3x+1 问题

考拉兹猜想(Collatz conjecture)

从任意一个正整数开始，重复对其进行下面的操作：如果这个数是偶数，把它除以2；如果这个数是奇数，则把它扩大到原来的3倍后再加1。序列是否最终总会变成4, 2, 1, 4, 2, 1, … 这种循环？

这个问题可以说是一个“坑”——乍看之下，问题非常简单，突破口很多，于是数学家们纷纷往里面跳；殊不知进去容易出来难，不少数学家到死都没把这个问题搞出来。已经中招的数学家不计其数，这可以从问题的各种别名看出来：问题又叫科拉兹（Collatz）猜想、叙拉古（Syracuse）问题、角谷猜想、哈斯（Hasse）算法和乌拉姆（Ulam）问题等。后来，由于命名争议太大，干脆让谁都不沾光，直接叫做问题算了。

问题不是一般地困难。这里举一个例子说明数列收敛有多么没规律。从26开始算起，10步就掉入了“421陷阱”：

26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1, …

但是，从27开始算起，数字会一路飙升到几千之大，你很可能会一度认为它脱离了“421陷阱”。但是，经过上百步运算后，它还是跌了回来：

27, 82, 41, 124, 62, 31, 94, 47, 142, 71, 214, 107, 322, 161, 484, 242, 121, 364, 182, 91, 274, 137, 412, 206, 103, 310, 155, 466, 233, 700, 350, 175, 526, 263, 790, 395, 1186, 593, 1780, 890, 445, 1336, 668, 334, 167, 502, 251, 754, 377, 1132, 566, 283, 850, 425, 1276, 638, 319, 958, 479, 1438, 719, 2158, 1079, 3238, 1619, 4858, 2429, 7288, 3644, 1822, 911, 2734, 1367, 4102, 2051, 6154, 3077, 9232, 4616, 2308, 1154, 577, 1732, 866, 433, 1300, 650, 325, 976, 488, 244, 122, 61, 184, 92, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1, …

196 问题

利克瑞尔数（Lychrel Number）

如果一个数正读反读都一样，我们就把它叫做“回文数”。随便选一个数，不断加上把它反过来写之后得到的数，直到得出一个回文数为止。例如，所选的数是67，两步就可以得到一个回文数484：

67 + 76 = 143

143 + 341 = 484

把69变成一个回文数则需要四步：

69 + 96 = 165

165 + 561 = 726

726 + 627 = 1353

1353 + 3531 = 4884

89的“回文数之路”则特别长，要到第24步才会得到第一个回文数，8 813 200 023 188。

大家或许会想，不断地“一正一反相加”，最后总能得到一个回文数，这当然不足为奇了。事实似乎也确实是这样的——对于几乎所有的数，按照规则不断加下去，迟早会出现回文数。不过，196却是一个相当引人注目的例外。数学家们已经用计算机算到了3亿多位数，都没有产生过一次回文数。从196出发，究竟能否加出回文数来？196究竟特殊在哪儿？这至今仍是个谜。

吉尔布雷思猜想

Gilbreath's conjecture

从小到大依次列出所有的质数：

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, …

求出相邻两项之差：

1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, …

现在，再次求出所得序列中相邻两项之差，又会得到一个新的序列：

1, 0, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, …

重复对所得序列进行这样的操作，我们还可以依次得到

1, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 2, …

1, 2, 0, 0, 0, 0, 2, …

1, 2, 0, 0, 0, 2, …

1, 2, 0, 0, 2, …

大家会发现一个有趣的规律：每行序列的第一个数都是1。

某日，数学家诺曼•吉尔布雷思（Norman L. Gilbreath）闲得无聊，在餐巾上不断对质数序列求差，于是发现了上面这个规律。吉尔布雷思的两个学生对前64 419行序列进行了检验，发现这个规律始终成立。1958年，吉尔布雷思在一个数学交流会上提出了他的发现，吉尔布雷思猜想由此诞生。

这个规律如此之强，很少有人认为猜想不成立。1993年，安德鲁•奥德里兹科（Andrew Odlyzko）对10 000 000 000 000以内的质数（也就是346 065 536 839行）进行了检验，也没有发现反例。

不过，这一看似简单的问题，几十年来硬是没人解决。

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本书内容大多是从作者6 年多以来积累的上千篇博客中节选而来的，分为“生活中的数学”、“数学之美”、“几何的大厦”、“精妙的证明”和“思维的尺度”五部分。书中基本不涉及高深的数学理论，但是内容新颖、时尚，既有与现实生活联系紧密的应用型话题，又有打通几何、代数联系的富有启发性的讨论，还间或介绍了一些著名数学难题的最新研究进展，信息十分丰富。
本书是广大数学爱好者的美味佳肴，只要具备简单数学基础即能阅读。

第一部分生话中的数学
概率论教你说谎
找东西背后的概率问题
设计调查问卷的艺术
统计数据的陷阱
为什么人们往往不愿意承担风险？
消费者承担消费税真的吃亏了吗？
价格里的阴谋
公用品的悲剧
密码学与协议
公平分割问题
中文自动分词算法
第二部分数学之美
让你立刻爱上数学的8个算术游戏
最折磨人的数学未解之谜
那些神秘的数学常数
奇妙的心电图数列
不可思议的分形图形
几何之美：三角形的心
数学之外的美丽：幸福结局问题
第三部分几何的大厦
尺规作图问题
单规作图的力量
锈规作图也疯狂
火柴棒搭成的几何世界
折纸的学问
万能的连杆系统
探索图形剪拼
第四部分精妙的证明
我最爱的一个证明
把辅助线作到空间中去的平面几何问题
小合集（一）：几何问题
皮克定理的另类证法和出人意料的应用
欧拉公式的另类证法和出人意料的应用
定宽曲线与蒲丰投针实验
来自不同领域的证明
平分面积的直线
小合集（二）：图形证明
生成函数的妙用
利用赌博求解数学问题
非构造性证明
小合集（三）：数字问题
第五部分思维的尺度
史诗般壮观的数学证明
停机问题与“万能证明方法”
奇怪的函数（一）
比无穷更大的无穷
奇怪的函数（二）
塔珀自我指涉公式
俄罗斯方块可以永无止境地玩下去吗？
无以言表的大数：古德斯坦数列
乘法之后是乘方乘方之后是什么？
不同维度的对话：带你进人四维世界