图解普林斯顿微积分(重制) 06：三角函数的极限和导数

[遇见] 这里衷心感谢 @Mr.C 同学协助转成将此系列原文档中公式转成 LaTeX 格式. ★提示: 如果文中数字/公式显示较大, 请点击右上角中"刷新"即可恢复正常.

本章主要内容:
● 三角函数在小数、大数以及其他变量值时的行为;
● 三角函数的导数;
● 简谐运动.

▌7.1 三角函数的极限
考虑下面两个极限, 唯一区别是, 左边极限考察的是在  趋于  , 而右边在  趋于无穷大取的极限. 也就是需要留意是在很小很小数, 还是很大很大的数上取得极限.

▌7.1.1 小数的情况
事实表明,  和  在  附近近似相等, 观察下面  在  和  直接的图形, 当  非常非常小的时候,  近似等于  , 那么  成立.

▌7.1.3 大数的情况

▌7.1.4 "其他的"情况
如果计算  趋于  的极限, 这里  , 这里有一个解决的方法, 就是用  做替换, 将问题转化为  趋近于  , 比如下面的例子:


▌7.1.5 一个重要极限的证明

▌7.2 三角函数的导数
现在把所有三角函数以及反三角函数做个总结(公式自: 中文维基百科).






▌7.2.2 简谐运动(Simple harmonic motion)
三角函数经常会用来描述弹簧的震荡运动. 设  是弹簧振子在时刻  的位置, 取向上的方向作为正方向, 那么描述  的方程大致类似于 . 类似也可以用余弦来代替, 因为两者总是来回震荡, 而这类运动就被称为简谐运动.