在本论文中,我们考虑了从随机分析和代数到统计和机器学习的工具的应用。其中大多数工具是已知为签名方法的不同形式。在过去的70年里,签名在数学的几个不同领域被发现和重新发现。简而言之,它将一个在向量空间中演变的路径映射到包裹同一空间的一个群体。它对统计如此有用的原因有两个:一是它的不变性集在许多应用中都非常受欢迎;二是其图像群体结构严密,非常适合使用代数工具进行数学研究。这里的主要目标是研究如何使用签名来表示给定路径的统计属性,以及如何将这些属性应用于机器学习。这个目标表现为 - 除其他事项外: • 一种用于签名的新型累积量,具有独特的组合属性,可用于表征路径的独立性, • 在再生核希尔伯特空间上的累积量,与签名累积量有关,尽管没有明确使用签名, • 将签名推广到其他类型的特征映射到非交换代数, • 具有初始拓扑的特征映射,捕捉随机过程滤波的属性, • 以及一系列得分规则与相关的散度、熵和路径的相互信息,这些都尊重它们的群体结构。 这些被划分为单独的、自成体系的章节,可以互相独立阅读。

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“机器学习是近20多年兴起的一门多领域交叉学科,涉及概率论、统计学、逼近论、凸分析、算法复杂度理论等多门学科。机器学习理论主要是设计和分析一些让 可以自动“ 学习”的算法。机器学习算法是一类从数据中自动分析获得规律,并利用规律对未知数据进行预测的算法。因为学习算法中涉及了大量的统计学理论,机器学习与统计推断学联系尤为密切,也被称为统计学习理论。算法设计方面,机器学习理论关注可以实现的,行之有效的学习算法。很多 推论问题属于 无程序可循难度,所以部分的机器学习研究是开发容易处理的近似算法。” ——中文维基百科

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