In the Trivially Perfect Editing problem one is given an undirected graph $G = (V,E)$ and an integer $k$ and seeks to add or delete at most $k$ edges in $G$ to obtain a trivially perfect graph. In a recent work, Dumas, Perez and Todinca [Algorithmica 2023] proved that this problem admits a kernel with $O(k^3)$ vertices. This result heavily relies on the fact that the size of trivially perfect modules can be bounded by $O(k^2)$ as shown by Drange and Pilipczuk [Algorithmica 2018]. To obtain their cubic vertex-kernel, Dumas, Perez and Todinca [Algorithmica 2023] then showed that a more intricate structure, so-called \emph{comb}, can be reduced to $O(k^2)$ vertices. In this work we show that the bound can be improved to $O(k)$ for both aforementioned structures and thus obtain a kernel with $O(k^2)$ vertices. Our approach relies on the straightforward yet powerful observation that any large enough structure contains unaffected vertices whose neighborhood remains unchanged by an editing of size $k$, implying strong structural properties.


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Algorithmica是一本国际性的期刊,它出版关于解决实际领域中出现的问题的算法的理论论文,以及对实际重要性或技术具有普遍吸引力的实验论文。算法的发展是计算机科学的一个组成部分。计算机应用的日益复杂和范围使得高效算法的设计必不可少。此外,该杂志还设有两个专区:应用经验、将理论成果应用到实际情况中的发现和问题、提供有关计算机科学选定主题的问题的短文。官网链接:https://link.springer.com/journal/453
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