We consider a policy gradient algorithm applied to a finite-arm bandit problem with Bernoulli rewards. We allow learning rates to depend on the current state of the algorithm, rather than use a deterministic time-decreasing learning rate. The state of the algorithm forms a Markov chain on the probability simplex. We apply Foster-Lyapunov techniques to analyse the stability of this Markov chain. We prove that if learning rates are well chosen then the policy gradient algorithm is a transient Markov chain and the state of the chain converges on the optimal arm with logarithmic or poly-logarithmic regret.


翻译:我们认为Bernoulli奖赏中的政策梯度算法适用于有限武器强盗问题。 我们允许学习率取决于算法的当前状态, 而不是使用确定性的时间递减学习率。 算法的状态在概率简单x上形成了Markov链条。 我们运用Foster- Lyapunov 技术来分析这个Markov链条的稳定性。 我们证明, 如果学习率选择得当, 那么政策梯度算法就是瞬时的Markov 链条, 而链条的状态会在最佳手臂上与对数或多对数后悔相融合。

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马尔可夫链,因安德烈·马尔可夫(A.A.Markov,1856-1922)得名,是指数学中具有马尔可夫性质的离散事件随机过程。该过程中,在给定当前知识或信息的情况下,过去(即当前以前的历史状态)对于预测将来(即当前以后的未来状态)是无关的。 在马尔可夫链的每一步,系统根据概率分布,可以从一个状态变到另一个状态,也可以保持当前状态。状态的改变叫做转移,与不同的状态改变相关的概率叫做转移概率。随机漫步就是马尔可夫链的例子。随机漫步中每一步的状态是在图形中的点,每一步可以移动到任何一个相邻的点,在这里移动到每一个点的概率都是相同的(无论之前漫步路径是如何的)。
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