Given graphs $H$ and $G$, possibly with vertex-colors, a homomorphism is a function $f:V(H)\to V(G)$ that preserves colors and edges. Many interesting counting problems (e.g., subgraph and induced subgraph counts) are finite linear combinations $p(\cdot)=\sum_{H}\alpha_{H}\hom(H,\cdot)$ of homomorphism counts, and such linear combinations are known to be hard to evaluate iff they contain a large-treewidth graph $S$. The hardness can be shown in two steps: First, the problems $\hom(S,\cdot)$ for colorful (i.e., bijectively colored) large-treewidth graphs $S$ are shown to be hard. In a second step, these problems are reduced to finite linear combinations of homomorphism counts that contain the uncolored version $S^{\circ}$ of $S$. This step can be performed via inclusion-exclusion in $2^{|E(S)|}\mathrm{poly}(n,s)$ time, where $n$ is the size of the input graph and $s$ is the maximum number of vertices among all graphs in the linear combination. We show that the second step can be performed even in time $4^{\Delta(S)}\mathrm{poly}(n,s)$, where $\Delta(S)$ is the maximum degree of $S$. Our reduction is based on graph products with Cai-F\"urer-Immerman graphs, a novel technique that is likely of independent interest. For colorful graphs $S$ of constant maximum degree, this technique yields a polynomial-time reduction from $\hom(S,\cdot)$ to linear combinations of homomorphism counts involving $S^{\circ}$. Under certain conditions, it actually suffices that a supergraph $T$ of $S^{\circ}$ is contained in the target linear combination. The new reduction yields $\mathsf{\#P}$-hardness results for several counting problems that could previously be studied only under parameterized complexity assumptions. This includes the problems of counting, on input a graph from a restricted graph class and a general graph $G$, the homomorphisms or (induced) subgraph copies from $H$ in $G$.


翻译:暂无翻译

0
下载
关闭预览

相关内容

专知会员服务
50+阅读 · 2020年12月14日
专知会员服务
123+阅读 · 2020年9月8日
【干货书】真实机器学习,264页pdf,Real-World Machine Learning
强化学习最新教程,17页pdf
专知会员服务
174+阅读 · 2019年10月11日
2019年机器学习框架回顾
专知会员服务
35+阅读 · 2019年10月11日
[综述]深度学习下的场景文本检测与识别
专知会员服务
77+阅读 · 2019年10月10日
Hierarchically Structured Meta-learning
CreateAMind
26+阅读 · 2019年5月22日
Transferring Knowledge across Learning Processes
CreateAMind
27+阅读 · 2019年5月18日
深度自进化聚类:Deep Self-Evolution Clustering
我爱读PAMI
15+阅读 · 2019年4月13日
强化学习的Unsupervised Meta-Learning
CreateAMind
17+阅读 · 2019年1月7日
Unsupervised Learning via Meta-Learning
CreateAMind
42+阅读 · 2019年1月3日
A Technical Overview of AI & ML in 2018 & Trends for 2019
待字闺中
16+阅读 · 2018年12月24日
【论文】变分推断(Variational inference)的总结
机器学习研究会
39+阅读 · 2017年11月16日
Capsule Networks解析
机器学习研究会
11+阅读 · 2017年11月12日
【论文】图上的表示学习综述
机器学习研究会
14+阅读 · 2017年9月24日
国家自然科学基金
0+阅读 · 2013年12月31日
国家自然科学基金
0+阅读 · 2013年12月31日
国家自然科学基金
0+阅读 · 2012年12月31日
国家自然科学基金
0+阅读 · 2012年12月31日
国家自然科学基金
0+阅读 · 2012年12月31日
国家自然科学基金
0+阅读 · 2012年12月31日
国家自然科学基金
0+阅读 · 2011年12月31日
国家自然科学基金
0+阅读 · 2011年12月31日
国家自然科学基金
0+阅读 · 2009年12月31日
国家自然科学基金
0+阅读 · 2008年12月31日
Arxiv
20+阅读 · 2021年9月22日
Arxiv
38+阅读 · 2020年3月10日
Arxiv
26+阅读 · 2018年2月27日
VIP会员
相关VIP内容
专知会员服务
50+阅读 · 2020年12月14日
专知会员服务
123+阅读 · 2020年9月8日
【干货书】真实机器学习,264页pdf,Real-World Machine Learning
强化学习最新教程,17页pdf
专知会员服务
174+阅读 · 2019年10月11日
2019年机器学习框架回顾
专知会员服务
35+阅读 · 2019年10月11日
[综述]深度学习下的场景文本检测与识别
专知会员服务
77+阅读 · 2019年10月10日
相关资讯
Hierarchically Structured Meta-learning
CreateAMind
26+阅读 · 2019年5月22日
Transferring Knowledge across Learning Processes
CreateAMind
27+阅读 · 2019年5月18日
深度自进化聚类:Deep Self-Evolution Clustering
我爱读PAMI
15+阅读 · 2019年4月13日
强化学习的Unsupervised Meta-Learning
CreateAMind
17+阅读 · 2019年1月7日
Unsupervised Learning via Meta-Learning
CreateAMind
42+阅读 · 2019年1月3日
A Technical Overview of AI & ML in 2018 & Trends for 2019
待字闺中
16+阅读 · 2018年12月24日
【论文】变分推断(Variational inference)的总结
机器学习研究会
39+阅读 · 2017年11月16日
Capsule Networks解析
机器学习研究会
11+阅读 · 2017年11月12日
【论文】图上的表示学习综述
机器学习研究会
14+阅读 · 2017年9月24日
相关基金
国家自然科学基金
0+阅读 · 2013年12月31日
国家自然科学基金
0+阅读 · 2013年12月31日
国家自然科学基金
0+阅读 · 2012年12月31日
国家自然科学基金
0+阅读 · 2012年12月31日
国家自然科学基金
0+阅读 · 2012年12月31日
国家自然科学基金
0+阅读 · 2012年12月31日
国家自然科学基金
0+阅读 · 2011年12月31日
国家自然科学基金
0+阅读 · 2011年12月31日
国家自然科学基金
0+阅读 · 2009年12月31日
国家自然科学基金
0+阅读 · 2008年12月31日
Top
微信扫码咨询专知VIP会员