We introduce the notion of {\em fair cuts} as an approach to leverage approximate $(s,t)$-mincut (equivalently $(s,t)$-maxflow) algorithms in undirected graphs to obtain near-linear time approximation algorithms for several cut problems. Informally, for any $\alpha\geq 1$, an $\alpha$-fair $(s,t)$-cut is an $(s,t)$-cut such that there exists an $(s,t)$-flow that uses $1/\alpha$ fraction of the capacity of \emph{every} edge in the cut. (So, any $\alpha$-fair cut is also an $\alpha$-approximate mincut, but not vice-versa.) We give an algorithm for $(1+\epsilon)$-fair $(s,t)$-cut in $\tilde{O}(m)$-time, thereby matching the best runtime for $(1+\epsilon)$-approximate $(s,t)$-mincut [Peng, SODA '16]. We then demonstrate the power of this approach by showing that this result almost immediately leads to several applications: - the first nearly-linear time $(1+\epsilon)$-approximation algorithm that computes all-pairs maxflow values (by constructing an approximate Gomory-Hu tree). Prior to our work, such a result was not known even for the special case of Steiner mincut [Dinitz and Vainstein, STOC '94; Cole and Hariharan, STOC '03]; - the first almost-linear-work subpolynomial-depth parallel algorithms for computing $(1+\epsilon)$-approximations for all-pairs maxflow values (again via an approximate Gomory-Hu tree) in unweighted graphs; - the first near-linear time expander decomposition algorithm that works even when the expansion parameter is polynomially small; this subsumes previous incomparable algorithms [Nanongkai and Saranurak, FOCS '17; Wulff-Nilsen, FOCS '17; Saranurak and Wang, SODA '19].
翻译:我们引入了“ 公平削减” 的概念, 作为一种方法, 将大约 $( t) 美元( 相当于 美元, 相当于 美元) 的计算法( 相当于 美元, 相当于 美元) 的计算法( 相当于 美元 ) 。 在非 方向的图形中, 获取近线时间近似近似算数的算法。 非正式地, 对于任何 $( pha) q 美元 1 美元, $( t) 平面是 $( 美元) 的计算法( 美元), 这样就存在 美元( t) 直线( 美元) 的计算法( 等于 美元) 的计算法( 相当于 美元 ) 的计算法( 相当于 美元 美元 ) 的计算法( 美元 ) 。 此时, 我们的算法( S- 美元) 直线( t) 直线( m) 直线( t) 直线( 时间) 的算法( ) 直线( t), 直线( t) 直线( t) 直线- 直线- 直线- 的算法( t) 直线( ) 的算( 等- ) 的算的算的算的计算法( 美元) 美元) 最运行- 最运行- 美元) 的计算法( 美元- 美元- 的算的计算法( 美元- 美元) 的算的算的算的算的计算法( 美元- 美元- 美元- 的算的算的算的算的算的算的算的算的算的算的算的算的算的算的算的算的算的算的算的算的算的算的算的算的算的算的算的算的算的。