Principal Component Analysis (PCA) is a fundamental tool for data visualization, denoising, and dimensionality reduction. It is widely popular in Statistics, Machine Learning, Computer Vision, and related fields. However, PCA is well-known to fall prey to outliers and often fails to detect the true underlying low-dimensional structure within the dataset. Following the Median of Means (MoM) philosophy, recent supervised learning methods have shown great success in dealing with outlying observations without much compromise to their large sample theoretical properties. This paper proposes a PCA procedure based on the MoM principle. Called the \textbf{M}edian of \textbf{M}eans \textbf{P}rincipal \textbf{C}omponent \textbf{A}nalysis (MoMPCA), the proposed method is not only computationally appealing but also achieves optimal convergence rates under minimal assumptions. In particular, we explore the non-asymptotic error bounds of the obtained solution via the aid of the Rademacher complexities while granting absolutely no assumption on the outlying observations. The derived concentration results are not dependent on the dimension because the analysis is conducted in a separable Hilbert space, and the results only depend on the fourth moment of the underlying distribution in the corresponding norm. The proposal's efficacy is also thoroughly showcased through simulations and real data applications.


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在统计中,主成分分析(PCA)是一种通过最大化每个维度的方差来将较高维度空间中的数据投影到较低维度空间中的方法。给定二维,三维或更高维空间中的点集合,可以将“最佳拟合”线定义为最小化从点到线的平均平方距离的线。可以从垂直于第一条直线的方向类似地选择下一条最佳拟合线。重复此过程会产生一个正交的基础,其中数据的不同单个维度是不相关的。 这些基向量称为主成分。
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